Calcule , sendo e a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário se projetada no plano .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por:
A curva é a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Para resolver este problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Temos duas superfícies:
Paraboloide:
Cilindro:
A interseção dessas duas superfícies ocorre quando ambas as equações são verdadeiras simultaneamente. Substituindo a equação do cilindro na do paraboloide:
Portanto, a curva é um círculo no plano com raio 2 (já que ).
Passo 3
Agora, para calcular a integral de linha , podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície limitada por :
onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de :
O rotacional é dado por:
Calculando os determinantes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (2 i + 0 j + (1 + 2y) k) cdot k , dS = integral duplaS (1 + 2y) , dS limitada por . A superfície mais simples é o disco no plano com raio 2.
O vetor normal para esta superfície, orientado para cima (seguindo a orientação anti-horária de ), é .
Portanto, a integral de superfície se torna:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral x = r cos theta, y = r sin theta, dS = r , dr , dtheta . Como integral duplaS (1 + 2y) , dS = integral0^2pi integral0^2 (1 + 2(r sin theta)) r , dr , dtheta é o disco no plano com raio 2, podemos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo.
Em coordenadas polares:
Os limites de integração são de 0 a 2 e de 0 a .
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos integrar em relação a integral0^2 (1 + 2r sin theta) r , dr = integral0^2 (r + 2r^2 sin theta) , dr = [12 r^2 + 23 r^3 sin theta]0^2 = 12 (4) + 23 (8) sin theta = 2 + 163 sin theta primeiro: