Calcule ointC F cdot d r, sendo F=(x-y^2) i+(x-z+y^22+sen y) j+y k e C a interseção do paraboloide 4 z=x^2+y^2 com o cilindro x^2+y^2=4, orientada no sentido anti-horário se projetada no plano x y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha F = (x - y^2) i + (x - z + y^22 + sin y) j + y k , onde o campo vetorial é dado por:
A curva é a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Para resolver este problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva 4z = 4 implies z = 1 . Temos duas superfícies:
  1. Paraboloide:
  2. Cilindro:
A interseção dessas duas superfícies ocorre quando ambas as equações são verdadeiras simultaneamente. Substituindo a equação do cilindro na do paraboloide:
Portanto, a curva é um círculo no plano com raio 2 (já que ).

Passo 3

Agora, para calcular a integral de linha ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS , podemos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície limitada por :
onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F = (x - y^2) i + (x - z + y^22 + sin y) j + y k :
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x - y^2 & x - z + y^22 + sin y & y
O rotacional nabla times F = ( partial ypartial y - partialpartial z(x - z + y^22 + sin y) ) i - ( partial ypartial x - partialpartial z(x - y^2) ) j + ( partialpartial x(x - z + y^22 + sin y) - partialpartial y(x - y^2) ) k é dado por:
nabla times F = (1 - (-1)) i - (0 - 0) j + (1 - (-2y)) k = 2 i + 0 j + (1 + 2y) k
Calculando os determinantes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (2 i + 0 j + (1 + 2y) k) cdot k , dS = integral duplaS (1 + 2y) , dS limitada por . A superfície mais simples é o disco no plano com raio 2.
O vetor normal para esta superfície, orientado para cima (seguindo a orientação anti-horária de ), é .
Portanto, a integral de superfície se torna:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral x = r cos theta, y = r sin theta, dS = r , dr , dtheta . Como integral duplaS (1 + 2y) , dS = integral0^2pi integral0^2 (1 + 2(r sin theta)) r , dr , dtheta é o disco no plano com raio 2, podemos usar coordenadas polares para facilitar o cálculo.
Em coordenadas polares:
Os limites de integração são de 0 a 2 e de 0 a .
Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos integrar em relação a integral0^2 (1 + 2r sin theta) r , dr = integral0^2 (r + 2r^2 sin theta) , dr = [12 r^2 + 23 r^3 sin theta]0^2 = 12 (4) + 23 (8) sin theta = 2 + 163 sin theta primeiro:
integral0^2pi (2 + 163 sin theta) , dtheta = 2 cdot 2pi + 163 cdot 0 = 4pi
Agora, integramos em relação a :
(O termo com se anula porque a integral de de 0 a é zero.)

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados