Calcule
usando o Teorema de Stokes ou Integral de linha, sendo
e
é o cone
com orientação horária.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. Vamos usar o Teorema de Stokes para facilitar, já que ele relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes e o conceito de integral de linha e de superfície. Precisaremos entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e como parametrizar a superfície do cone
no intervalo
.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Ou seja, a integral de linha de
ao redor de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre
, onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional
para
é dado por:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal
à superfície do cone. A equação do cone é
. Podemos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas. Vamos deixar
como a variável principal:
Aqui,
varia de 0 a 4 (porque
) e
varia de 0 a
.
Passo 5
Para encontrar o vetor normal
, calculamos os vetores tangentes às direções
e
:
O vetor normal
é o produto vetorial desses dois vetores:
Mas para a integral, só precisamos da direção, então podemos simplificar e considerar
como
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto
:
Passo 7
Agora, vamos montar a integral de superfície:
Precisamos expressar
em termos das coordenadas
e
. Para a parametrização que fizemos:
Passo 8
Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos calcular as integrais internas:
Então:
Resposta
A integral
vale
.