Calcule integralC F cdot d r usando o Teorema de Stokes ou Integral de linha, sendo F(x, y, z)=lang<=-y, x,-2rang<=
e S é o cone z^2=x^2+y^2, 0 <= z <= 4 com orientação horária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde . Vamos usar o Teorema de Stokes para facilitar, já que ele relaciona uma integral de linha com uma integral de superfície. O conteúdo que vamos usar envolve cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes e o conceito de integral de linha e de superfície. Precisaremos entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e como parametrizar a superfície do cone no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o Teorema de Stokes. Ele diz que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha de ao redor de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre , onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = lang<= partial (-2)partial y - partial xpartial z, partial (-y)partial z - partial (-2)partial x, partial xpartial x - partial (-y)partial y rang<= . O rotacional nabla times F = lang<= 0 - 0, 0 - 0, 1 - (-1) rang<= = lang<= 0, 0, 2 rang<= para é dado por:
Calculando cada componente:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal r(r, theta) = lang<= rcostheta, rsintheta, r rang<= à superfície do cone. A equação do cone é . Podemos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas. Vamos deixar como a variável principal:
Aqui, varia de 0 a 4 (porque ) e varia de 0 a .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal rr = lang<= costheta, sintheta, 1 rang<= , calculamos os vetores tangentes às direções rtheta = lang<= -rsintheta, rcostheta, 0 rang<= e n = rr times rtheta = lang<= -rcostheta, -rsintheta, r rang<= :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Mas para a integral, só precisamos da direção, então podemos simplificar e considerar como .

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto (nabla times F) cdot n = lang<= 0, 0, 2 rang<= cdot lang<= -costheta, -sintheta, 1 rang<= = 0 cdot (-costheta) + 0 cdot (-sintheta) + 2 cdot 1 = 2 :

Passo 7

Agora, vamos montar a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS 2 , dS
Precisamos expressar dS = |rr times rtheta| , dr , dtheta = raiz(-costheta)^2 + (-sintheta)^2 + 1^2 cdot r , dr , dtheta = raiz1 + 1 cdot r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta em termos das coordenadas e . Para a parametrização que fizemos:

Passo 8

Substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaS 2 , dS = 2 raiz2 integral0^2pi integral0^4 r , dr , dtheta
Vamos calcular as integrais internas:
integral0^4 r , dr = [ r^22 ]0^4 = 162 = 8
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
2 raiz2 cdot 8 cdot 2pi = 32 raiz2 pi

Resposta

A integral vale .

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