Encontre o valor de para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando .
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral do problema não-homogêneo. Impondo que determine a constante . Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando (solução limitada!).
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que queríamos resolver:
O objetivo é encontrar o valor de que faz a solução dessa equação não crescer para infinito quando tende para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Equações diferenciais lineares de primeira ordem: Que é o tipo da nossa equação.
  • Solução da parte homogênea: Resolver a equação sem o lado direito.
  • Solução particular: Encontrar uma solução específica para a equação completa.
  • Condição inicial: Usar para encontrar a constante da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial simples que pode ser escrita como:
A solução geral dessa equação é:
onde é uma constante que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Para isso, usamos o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante, que é .
Multiplicamos ambos os lados da equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Multiplicando tudo por para isolar :

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 5

Então, a solução geral do problema de valor inicial fica:
Para que a solução não cresça para infinito quando , o termo que envolve precisa desaparecer, pois cresce sem limites. Isso só acontece se o coeficiente desse termo for zero:

Resposta

.

Exercícios relacionados

Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Resposta: com domínio .
(b)
Resposta: .
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável:
Resposta: Encontre as soluções:
Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de , que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Verhust-Pearl.
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de quando )
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta: