Encontre o valor de
para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando
.
Sugestão: Encontre a solução geral
do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral
do problema não-homogêneo. Impondo que
determine a constante
. Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor
evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando
(solução limitada!).
Resposta:
.
Sugestão: Encontre a solução geral
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que queríamos resolver:
O objetivo é encontrar o valor de
que faz a solução dessa equação não crescer para infinito quando
tende para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Equações diferenciais lineares de primeira ordem: Que é o tipo da nossa equação.
- Solução da parte homogênea: Resolver a equação sem o lado direito.
- Solução particular: Encontrar uma solução específica para a equação completa.
- Condição inicial: Usar
para encontrar a constante da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial simples que pode ser escrita como:
A solução geral dessa equação é:
onde
é uma constante que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Para isso, usamos o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante, que é
.
Multiplicamos ambos os lados da equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Multiplicando tudo por
para isolar
:
Passo 4
Agora, precisamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
na solução geral:
Simplificando:
Isso nos dá:
Passo 5
Então, a solução geral do problema de valor inicial fica:
Para que a solução não cresça para infinito quando
, o termo que envolve
precisa desaparecer, pois
cresce sem limites. Isso só acontece se o coeficiente desse termo for zero:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Resposta:
com domínio
.
(b)
(b)
Resposta:
.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável:
Resposta: Encontre as soluções:
Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de
, que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Verhust-Pearl.
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de quando
)
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta:
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta: