Encontre o valor de u0 para o qual a solução do problema de valor inicial
d u/d t - u = 1 + 3 sen(t), u(0) = u0
permaneça finita quando t -> +infinito.
Sugestão: Encontre a solução geral u_h(t, C) do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral ug(t, C) do problema não-homogêneo. Impondo que u_g(0 ; C) = u_0 determine a constante C. Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor u0 evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando t -> +infinito (solução limitada!).
Resposta: u0 = -5 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial que queríamos resolver:
O objetivo é encontrar o valor de que faz a solução dessa equação não crescer para infinito quando u0 tende para mais infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Equações diferenciais lineares de primeira ordem: Que é o tipo da nossa equação.
  • Solução da parte homogênea: Resolver a equação sem o lado direito.
  • Solução particular: Encontrar uma solução específica para a equação completa.
  • Condição inicial: Usar t para encontrar a constante da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Essa é uma equação diferencial simples que pode ser escrita como:
A solução geral dessa equação é:
onde C é uma constante que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Para isso, usamos o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o fator integrante, que é .
Multiplicamos ambos os lados da equação por esse fator:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Multiplicando tudo por t para isolar :
K

Passo 4

Agora, precisamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante K.
Substituindo na solução geral:
Simplificando:
Isso nos dá:

Passo 5

Então, a solução geral do problema de valor inicial fica:
Para que a solução não cresça para infinito quando , o termo que envolve precisa desaparecer, pois e^t cresce sem limites. Isso só acontece se o coeficiente desse termo for zero:
e^t

Resposta

.

Exercícios relacionados