Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Resposta:
com domínio
.
(b)
Resposta:
.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
(a)
(b)
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
Passo 1
Então, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A equação diferencial que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Vamos dividir toda a equação por
para isolar
:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Calculamos as integrais:
Então:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução é:
com domínio
.