Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
d u/d t = -1/t u + 1, u(1) = 1/2
Resposta: u(t) = t / 2 com domínio I = ]0, +infinito[.
(b)
t * du/dt - 4 * u + 2 * t^2 + 4 = 0, u(1) = 0
Resposta: u(t) = -2 t^4 + t^2 + 1, para todo t > 0.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.

Passo 1

Então, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A equação diferencial que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Vamos dividir toda a equação por para isolar :
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Calculamos as integrais:
Então:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução é:
com domínio .

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