Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Resposta:
com domínio
.
(b)
Resposta:
.
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
(a)
(b)
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.
Passo 1
Então, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A equação diferencial que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Vamos dividir toda a equação por
para isolar
:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Calculamos as integrais:
Então:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução é:
com domínio
.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: Esta EDO é separável e por integração direta podemos obter sua solução geral
. Apenas uma constante
permitirá que
atenda à condição inicial.
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter com
. Substitua o valor de
obtida na equação que define
implicitamente e determine
(equação de grau
). Com base no valor obtido, qual é o domínio
de
?
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo
.
Resposta:
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.
Encontre o valor de
para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando
.
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral
do problema não-homogêneo. Impondo que
determine a constante
. Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor
evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando
(solução limitada!).
Resposta: .
Sugestão: Encontre a solução geral
Resposta: