Determine uma solução (explicitando seu domínio de definição) para os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
Resposta: com domínio .
(b)
Resposta: .
Sugestão: use o método do fator integrante ou o método de variação de parâmetros.

Passo 1

Então, vamos resolver o problema de valor inicial que nos foi dado. A equação diferencial que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar uma solução geral para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Vamos dividir toda a equação por para isolar :
Simplificando, temos:

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Calculamos as integrais:
Então:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução é:
com domínio .

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: Esta EDO é separável e por integração direta podemos obter sua solução geral . Apenas uma constante permitirá que atenda à condição inicial.
Para encontrar o domínio da solução, observe que não podemos ter com . Substitua o valor de obtida na equação que define implicitamente e determine (equação de grau ). Com base no valor obtido, qual é o domínio de ?
Resposta: a solução é dada implicitamente por
Encontre todas as soluções de EDO
sobre o intervalo .
Resposta:
Sugestão: Esta EDO é linear. Podemos obter a solução geral do problema utilizando o método do fator integrante ou utilizando o método de variação de parâmetros.
Encontre o valor de para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando .
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral do problema não-homogêneo. Impondo que determine a constante . Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando (solução limitada!).
Resposta: .