Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável:
t * du/dt + u(t) = u(t)^2
Resposta: Encontre as soluções: u(t) = 0, u(t) = 1 e
u(t ; C) = 1 / (1 - C t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) não linear e não separável que foi apresentada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO que envolve derivadas e uma função quadrática de . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais não lineares e aplicar técnicas de resolução apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para torná-la um pouco mais fácil de lidar. Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, podemos fatorar o lado direito:

Passo 3

Nossa meta é isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Isso nos ajuda a separar as variáveis e , mesmo que a equação original não fosse separável.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, usamos frações parciais. A ideia é expressar como . Resolvendo, encontramos que e . Então:
O lado direito da equação original integra para:

Passo 5

Igualando as integrais das duas partes, temos:
Podemos simplificar isso combinando os logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar , sem a parte do valor absoluto (já que pode absorver o sinal). Resolvendo para :
Aqui, renomeamos a constante para para simplificar a notação:

Resposta

As soluções da EDO são:
Onde é uma constante arbitrária.

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