Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável:
Resposta: Encontre as soluções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) não linear e não separável que foi apresentada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO que envolve derivadas e uma função quadrática de . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais não lineares e aplicar técnicas de resolução apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para torná-la um pouco mais fácil de lidar. Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, podemos fatorar o lado direito:

Passo 3

Nossa meta é isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Isso nos ajuda a separar as variáveis e , mesmo que a equação original não fosse separável.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, usamos frações parciais. A ideia é expressar como . Resolvendo, encontramos que e . Então:
O lado direito da equação original integra para:

Passo 5

Igualando as integrais das duas partes, temos:
Podemos simplificar isso combinando os logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 6

Para simplificar, vamos considerar , sem a parte do valor absoluto (já que pode absorver o sinal). Resolvendo para :
Aqui, renomeamos a constante para para simplificar a notação:

Resposta

As soluções da EDO são:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encontre o valor de para o qual a solução do problema de valor inicial
permaneça finita quando .
Sugestão: Encontre a solução geral do problema homogêneo. Utilize, por exemplo, o método do fator integrante para encontrar a solução geral do problema não-homogêneo. Impondo que determine a constante . Escreva então a única solução do problema de valor inicial e analise que único valor evita que a solução assuma valores arbitrariamente grandes em módulo quando (solução limitada!).
Resposta: .
Resolva o problema de valor inicial
e esboce o gráfico de , que descreve a evolução com o tempo de uma população segundo o modelo de Verhust-Pearl.
Explique brevemente este modelo.
Qual é o valor da população limite ?
(o limite de quando )
Sugestão: Esta equação é separável e para encontrar uma das primitivas deve-se empregar o método das frações parciais.
Resposta:
(*) Obtenha todas as soluções da EDO
Sugestão: A solução geral é obtida por integração direta por ser a EDO separável. Obtido devemos analisar o número de soluções nos casos em que e .