Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável:
Resposta: Encontre as soluções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) não linear e não separável que foi apresentada:
Aqui, estamos lidando com uma EDO que envolve derivadas e uma função quadrática de . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações diferenciais não lineares e aplicar técnicas de resolução apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para torná-la um pouco mais fácil de lidar. Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, podemos fatorar o lado direito:
Passo 3
Nossa meta é isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :
Isso nos ajuda a separar as variáveis e , mesmo que a equação original não fosse separável.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Para resolver isso, usamos frações parciais. A ideia é expressar como . Resolvendo, encontramos que e . Então:
O lado direito da equação original integra para:
Passo 5
Igualando as integrais das duas partes, temos:
Podemos simplificar isso combinando os logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Onde é uma constante arbitrária.
Passo 6
Para simplificar, vamos considerar , sem a parte do valor absoluto (já que pode absorver o sinal). Resolvendo para :
Aqui, renomeamos a constante para para simplificar a notação: