Calcule integralC F cdot N d s.
b) F(x, y)=y j, C a fronteira do quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) e n a normal que aponta para fora do quadrado, sendo C orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a fronteira de um quadrado com vértices em , , e , e a normal aponta para fora do quadrado. Além disso, está orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada e aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a integral . Essa é chamada de integral de fluxo do campo vetorial através da curva . Ela representa a quantidade de “fluxo” que passa através de .

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Especificamente, para o fluxo, o teorema nos diz que:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD ( partial Fxpartial x + partial Fypartial y ) dA
onde é a região dentro de , e e são as componentes de .

Passo 4

Agora, vamos identificar as componentes de . Temos , o que significa que e .

Passo 5

Calculamos a divergência de partial Fxpartial x + partial Fypartial y = partial 0partial x + partial ypartial y = 0 + 1 = 1 :
Então, a divergência de é 1.

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Green:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD 1 , dA
Isso significa que a integral de fluxo é igual à área da região .

Passo 7

A região Área = 1 times 1 = 1 é um quadrado com lados de comprimento 1, então a área é:
Á

Resposta

O valor da integral é .

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