Calcule
.
b)
a fronteira do quadrado de vértices
e
e
normal que aponta para fora do quadrado, sendo
orientada no sentido anti-horário.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
, e a normal
aponta para fora do quadrado. Além disso,
está orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada e aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a integral
. Essa é chamada de integral de fluxo do campo vetorial
através da curva
. Ela representa a quantidade de “fluxo” que passa através de
.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Especificamente, para o fluxo, o teorema nos diz que:
onde
é a região dentro de
, e
e
são as componentes de
.
Passo 4
Agora, vamos identificar as componentes de
. Temos
, o que significa que
e
.
Passo 5
Calculamos a divergência de
:
Então, a divergência de
é 1.
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Green:
Isso significa que a integral de fluxo é igual à área da região
.
Passo 7
A região
é um quadrado com lados de comprimento 1, então a área é:
Resposta
O valor da integral é
.