Calcule integralC F cdot N d s.
d) F(x, y)=x i+y j, C é o arco da parábola y=x^2, 0 <= x <= 1 e n a normal com componente y<0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde a gente quer calcular . A força é dada por , e a curva é o arco da parábola para . A normal que vamos usar tem a componente , ou seja, aponta para baixo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(x) = x i + x^2 j, 0 <= x <= 1 . Como r,'(x) = drdx = i + 2x j , podemos usar ds = |r,'(x)| dx = raiz1 + (2x)^2 dx = raiz1 + 4x^2 dx como parâmetro. Então, nossa parametrização fica:
A derivada de em relação a é:
O diferencial de arco é dado pela magnitude de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor normal N = -2x i + j perpendicular à curva. O vetor tangente é N = 2x i - j . Um vetor normal pode ser obtido rotacionando o vetor tangente em 90 graus. Uma forma de fazer isso é trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas:
N = 2x i - jraiz(2x)^2 + (-1)^2 = 2x i - jraiz4x^2 + 1
Mas precisamos que a componente de seja negativa, então multiplicamos por :
Agora, normalizamos :

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar F cdot N = (x i + x^2 j) cdot ( 2x i - jraiz4x^2 + 1 ) = 2x^2 - x^2raiz4x^2 + 1 = x^2raiz4x^2 + 1 . A força e, na curva , . Substituindo:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral:
integralC F cdot N , ds = integral0^1 x^2raiz4x^2 + 1 cdot raiz1 + 4x^2 , dx = integral0^1 x^2 , dx
Note que .

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13

Resposta

O valor da integral é .

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