Calcule
.
d)
,
é o arco da parábola
e
a normal com componente
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha onde a gente quer calcular
. A força
é dada por
, e a curva
é o arco da parábola
para
. A normal
que vamos usar tem a componente
, ou seja, aponta para baixo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
, podemos usar
como parâmetro. Então, nossa parametrização fica:
A derivada de
em relação a
é:
O diferencial de arco
é dado pela magnitude de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
perpendicular à curva. O vetor tangente é
. Um vetor normal pode ser obtido rotacionando o vetor tangente em 90 graus. Uma forma de fazer isso é trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas:
Mas precisamos que a componente
de
seja negativa, então multiplicamos por
:
Agora, normalizamos
:
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
. A força
e, na curva
,
. Substituindo:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral:
Note que
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
O valor da integral é
.