Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções que têm a variável no expoente. Para resolver, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função tem a variável tanto na base quanto no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito usando a propriedade dos logaritmos que diz que
:
Passo 4
Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto, já que temos
multiplicado por
:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta na equação:
Resposta
A derivada da função
é: