Calcule as derivadas das seguintes funções:
y = x^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas de funções que têm a variável no expoente. Para resolver, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função tem a variável tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito usando a propriedade dos logaritmos que diz que :

Passo 4

Em seguida, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
No lado direito, aplicamos a regra do produto, já que temos multiplicado por :

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta na equação:

Resposta

A derivada da função é:

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