Calcule , onde é a parte da circunferência percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral , onde é a parte da circunferência com percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um tópico de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e expressar a integral em termos de um parâmetro, geralmente usando ângulos para circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Sabemos que essa é uma circunferência de raio 2 centrada na origem. Podemos usar a parametrização trigonométrica:
Como queremos apenas a parte da circunferência onde , isso corresponde aos ângulos de a (180 graus).

Passo 3

Agora, precisamos expressar , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma parametrização em termos de , temos:
Vamos calcular e :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos , e na integral original:
Vamos simplificar os termos:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral .
Podemos usar a substituição , então .
Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule , onde é o segmento de reta que inicia em e termina em .
Mostre que o campo vetorial
é conservativo. Calcule para a curva dada por .
Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
Calcule , onde é uma curva com parametrização .