Calcule
, onde
é a parte da circunferência
percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
, onde
é a parte da circunferência
com
percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um tópico de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva
e expressar a integral em termos de um parâmetro, geralmente usando ângulos para circunferências.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência
. Sabemos que essa é uma circunferência de raio 2 centrada na origem. Podemos usar a parametrização trigonométrica:
Como queremos apenas a parte da circunferência onde
, isso corresponde aos ângulos
de
a
(180 graus).
Passo 3
Agora, precisamos expressar
, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma parametrização em termos de
, temos:
Vamos calcular
e
:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na integral original:
Vamos simplificar os termos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
.
Podemos usar a substituição
, então
.
Alterando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Mostre que o campo vetorial
é conservativo. Calcule
para a curva
dada por
.
Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
a)
Calcule
, onde
é uma curva com parametrização
.