Calcule integralC(3 x y) d s, onde C é a parte da circunferência x^2+y^2=4 com y >= 0 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral , onde é a parte da circunferência com percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um tópico de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e expressar a integral em termos de um parâmetro, geralmente usando ângulos para circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência x = 2 cos theta . Sabemos que essa é uma circunferência de raio 2 centrada na origem. Podemos usar a parametrização trigonométrica:
y = 2 sin theta
Como queremos apenas a parte da circunferência onde , isso corresponde aos ângulos de a (180 graus).

Passo 3

Agora, precisamos expressar d s = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma parametrização em termos de dxdtheta = -2 sin theta , temos:
dydtheta = 2 cos theta
Vamos calcular d s = raiz(-2 sin theta)^2 + (2 cos theta)^2 , dtheta = raiz4 sin^2 theta + 4 cos^2 theta , dtheta = raiz4 (sin^2 theta + cos^2 theta) , dtheta = raiz4 cdot 1 , dtheta = 2 , dtheta e :
Então,

Passo 4

Agora, substituímos integralC(3 x y) , d s = integral0^pi 3 (2 cos theta)(2 sin theta) cdot 2 , dtheta , 3 cdot 2 cdot 2 cdot 2 = 24 e integral0^pi 24 cos theta sin theta , dtheta na integral original:
Vamos simplificar os termos:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral 24 integral0^0 u , du = 24 cdot 0 = 0 .
Podemos usar a substituição , então .
Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Resposta

A integral é igual a 0.

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