Calcule
, onde
é uma curva com parametrização
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é uma curva parametrizada por
para
variando de
a
.
O conteúdo que a gente vai usar aqui é Cálculo de Integrais de Linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender como parametrizar a curva e substituir na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva parametrizada
. Temos:
Também precisamos das derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 3
Agora, a integral de linha pode ser escrita como:
Substituindo
,
,
e
na integral, obtemos:
Passo 4
Vamos substituir as funções na expressão:
Agora, substituindo na integral:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Somando tudo:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo de
a
:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
O valor da integral é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
a)
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
percorrida no sentido anti-horário.
Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não. Justifique sua resposta.
, em que
e
são como no item anterior.
Resolva a integral de linha
, onde
é a parte da elipse de equação
que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.