Calcule integralC(y x, x-4) d r, onde C é uma curva com parametrização r(t)=(3 t^2+ t, 1+4 t), t in[0,5].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC(y x, x-4) , dr, onde C é uma curva parametrizada por r(t) = (3 t^2 + t, 1 + 4 t) para t variando de 0 a 5.
O conteúdo que a gente vai usar aqui é Cálculo de Integrais de Linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender como parametrizar a curva e substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva parametrizada r(t). Temos:
x(t) = 3t^2 + t
y(t) = 1 + 4t
Também precisamos das derivadas dessas funções em relação a t:
dxdt = 6t + 1
dydt = 4

Passo 3

Agora, a integral de linha pode ser escrita como:
integralC (y x , dx + (x - 4) , dy)
Substituindo x(t), y(t), dx/dt e dy/dt na integral, obtemos:
integral0^5 [ (y(t) cdot x(t)) cdot dxdt + (x(t) - 4) cdot dydt ] dt

Passo 4

Vamos substituir as funções na expressão:
y(t) cdot x(t) = (1 + 4t)(3t^2 + t) = 3t^2(1) + 3t^2(4t) + t(1) + t(4t) = 3t^2 + 12t^3 + t + 4t^2 = 12t^3 + 7t^2 + t
x(t) - 4 = (3t^2 + t) - 4 = 3t^2 + t - 4
Agora, substituindo na integral:
integral0^5 [ (12t^3 + 7t^2 + t)(6t + 1) + (3t^2 + t - 4)(4) ] dt

Passo 5

Vamos expandir os termos:
(12t^3 + 7t^2 + t)(6t + 1) = 12t^3 cdot 6t + 12t^3 cdot 1 + 7t^2 cdot 6t + 7t^2 cdot 1 + t cdot 6t + t cdot 1 = 72t^4 + 12t^3 + 42t^3 + 7t^2 + 6t^2 + t
= 72t^4 + (12t^3 + 42t^3) + (7t^2 + 6t^2) + t = 72t^4 + 54t^3 + 13t^2 + t
(3t^2 + t - 4)(4) = 12t^2 + 4t - 16
Somando tudo:
72t^4 + 54t^3 + 13t^2 + t + 12t^2 + 4t - 16 = 72t^4 + 54t^3 + (13t^2 + 12t^2) + (t + 4t) - 16 = 72t^4 + 54t^3 + 25t^2 + 5t - 16

Passo 6

Agora, integramos termo a termo de t=0 a t=5:
integral0^5 72t^4 , dt + integral0^5 54t^3 , dt + integral0^5 25t^2 , dt + integral0^5 5t , dt - integral0^5 16 , dt
= [ 725t^5 ]0^5 + [ 544t^4 ]0^5 + [ 253t^3 ]0^5 + [ 52t^2 ]0^5 - [ 16t ]0^5
= 725(5^5 - 0) + 544(5^4 - 0) + 253(5^3 - 0) + 52(5^2 - 0) - 16(5 - 0)

Passo 7

Calculando os valores:
5^5 = 3125, 5^4 = 625, 5^3 = 125, 5^2 = 25
= 725 times 3125 + 544 times 625 + 253 times 125 + 52 times 25 - 16 times 5
= 72 times 625 + 13.5 times 625 + 31253 + 2.5 times 25 - 80
= 45000 + 8437.5 + 10416 + 62.5 - 80
= 45000 + 8437.5 = 53437.5
53437.5 + 10416 = 54479.166
54479.166 + 62.5 = 54541.666
54541.666 - 80 = 54461.666
= 544616 approx 54461.67

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 54,461,67.

Exercícios relacionados