Calcule , onde é uma curva com parametrização .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é uma curva parametrizada por para variando de a .
O conteúdo que a gente vai usar aqui é Cálculo de Integrais de Linha no contexto de campos vetoriais. Para resolver isso, precisamos entender como parametrizar a curva e substituir na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva parametrizada . Temos:
Também precisamos das derivadas dessas funções em relação a :

Passo 3

Agora, a integral de linha pode ser escrita como:
Substituindo , , e na integral, obtemos:

Passo 4

Vamos substituir as funções na expressão:
Agora, substituindo na integral:

Passo 5

Vamos expandir os termos:
Somando tudo:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo de a :

Passo 7

Calculando os valores:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
Calcule , onde é a parte da circunferência percorrida no sentido anti-horário.
Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não. Justifique sua resposta. , em que e são como no item anterior.
Resolva a integral de linha , onde é a parte da elipse de equação que está no primeiro quadrante, percorrida no sentido horário.