Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a) F(x, y) = (x + y^2, 2xy)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de campos vetoriais conservativos. A pergunta é: verificar se o campo vetorial é ou não conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como identificar isso usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 3

Um jeito mais fácil de verificar se o campo é conservativo é calculando o rotacional ou a “curl” do campo. No caso de campos bidimensionais, o rotacional é dado por:
Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos agora identificar e do nosso campo:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 6

Agora, calculamos o rotacional:

Passo 7

Como o rotacional é zero, isso indica que o campo vetorial é conservativo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo.

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