Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de campos vetoriais conservativos. A pergunta é: verificar se o campo vetorial
é ou não conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como identificar isso usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 3
Um jeito mais fácil de verificar se o campo é conservativo é calculando o rotacional ou a “curl” do campo. No caso de campos bidimensionais, o rotacional é dado por:
Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos agora identificar
e
do nosso campo:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Agora, calculamos o rotacional:
Passo 7
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo vetorial
é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a parte da circunferência
percorrida no sentido anti-horário.
Calcule
, onde
é o segmento de reta que inicia em
e termina em
.
Calcule
, onde
é uma curva com parametrização
.
Determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não. Justifique sua resposta.
, em que
e
são como no item anterior.