Verifique se cada campo vetorial é ou não conservativo.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de campos vetoriais conservativos. A pergunta é: verificar se o campo vetorial
é ou não conservativo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como identificar isso usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Passo 3
Um jeito mais fácil de verificar se o campo é conservativo é calculando o rotacional ou a “curl” do campo. No caso de campos bidimensionais, o rotacional é dado por:
Se o rotacional for zero em toda a região considerada, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos agora identificar
e
do nosso campo:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 6
Agora, calculamos o rotacional:
Passo 7
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo vetorial
é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo.