Calcule integralC(e^x^2+y^2) d x+(e^y^2-z^2) d y+(e^z^2-x^2) d z, onde C é o contorno da parte do plano x+y+z=1, que está no primeiro octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha:
integralC(e^x^2 + y^2) dx + (e^y^2 - z^2) dy + (e^z^2 - x^2) dz
onde é o contorno da parte do plano no primeiro octante, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotor (ou rotacional) do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial F = ( e^x^2 + y^2 ) i + ( e^y^2 - z^2 ) j + ( e^z^2 - x^2 ) k :
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Onde , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Rpartial y = 0
partial Qpartial z = -2z
partial Ppartial z = 0
partial Rpartial x = -2x
partial Qpartial x = 0
partial Ppartial y = 2y
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - (-2z)) i + (0 - (-2x)) j + (0 - 2y) k = 2z, i + 2x, j - 2y, k

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde é a superfície delimitada por , e é o vetor normal à superfície.
Para o plano , podemos parametrizar . A normal ao plano é .

Passo 5

Calculando o produto escalar (nabla times F) cdot n = 1raiz3 (2z + 2x - 2y) :
2(1 - x - y) + 2x - 2y = 2 - 2x - 2y + 2x - 2y = 2 - 4y
Substituindo (nabla times F) cdot n = 1raiz3 (2 - 4y) :
Portanto:
A área da superfície no primeiro octante é um triângulo com vértices em , e .

Passo 6

A integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD 2 - 4yraiz3 cdot raiz3 , dx , dy = integral duplaD (2 - 4y) , dx , dy
Onde é a projeção do triângulo no plano , limitado por , e .

Passo 7

Calculando a integral dupla:
integral duplaD (2 - 4y) , dx , dy = integral0^1 integral0^1 - y (2 - 4y) , dx , dy
Integrando com relação a integral0^1 - y (2 - 4y) , dx = (2 - 4y)(1 - y) :
integral0^1 (2 - 4y)(1 - y) , dy = integral0^1 (2 - 2y - 4y + 4y^2) , dy = integral0^1 (2 - 6y + 4y^2) , dy
Agora, integrando com relação a integral0^1 2 , dy = 2 :
integral0^1 -6y , dy = -3
Calculando cada termo:
integral0^1 4y^2 , dy = 43
2 - 3 + 43 = -1 + 43 = 13
Somando:

Resposta

A resposta final é .

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