Calcule
, onde
é o contorno da parte do plano
, que está no primeiro octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha:
onde
é o contorno da parte do plano
no primeiro octante, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha a uma integral de superfície envolvendo o rotor (ou rotacional) do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo vetorial
:
Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Onde
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Onde
é a superfície delimitada por
, e
é o vetor normal à superfície.
Para o plano
, podemos parametrizar
. A normal ao plano é
.
Passo 5
Calculando o produto escalar
:
Substituindo
:
Portanto:
A área da superfície
no primeiro octante é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 6
A integral de superfície fica:
Onde
é a projeção do triângulo no plano
, limitado por
,
e
.
Passo 7
Calculando a integral dupla:
Integrando com relação a
:
Agora, integrando com relação a
:
Calculando cada termo:
Somando:
Resposta
A resposta final é
.