Calcule
dy, onde
é o triângulo de vértices
e
percorrido no sentido antihorário.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular uma integral de linha, especificamente
. A curva
é o contorno de um triângulo com vértices nos pontos
,
e
, e a gente vai percorrer esse triângulo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
no plano, a integral de linha
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
:
Nesse caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, a integral dupla fica:
Ou seja, precisamos calcular o dobro da área da região
, que no nosso caso é o triângulo.
Passo 5
Vamos calcular a área do triângulo com vértices em
,
e
. A fórmula da área de um triângulo com base
e altura
é:
Aqui, a base
é 1 (de
a
) e a altura
também é 1 (de
a
). Então:
Passo 6
Voltando à nossa integral dupla:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
(a)
(b)
Calcule as derivadas das seguintes funçöes:
(a) Para quais valores de
não existe?
(b) Para quais valores de não é contínua?
© Para quais valores de existe, mas
não é contínua em
?
(b) Para quais valores de
© Para quais valores de
Resolva os seguintes PVIs: