Calcule integralC(x-y) dx+(x+y) dy, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1) percorrido no sentido antihorário.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular uma integral de linha, especificamente . A curva é o contorno de um triângulo com vértices nos pontos , e , e a gente vai percorrer esse triângulo no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA que delimita uma região no plano, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região :
Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x + y) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(x - y) = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral duplaD , dA
Ou seja, precisamos calcular o dobro da área da região , que no nosso caso é o triângulo.

Passo 5

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em Área = 12 times b times h , Área = 12 times 1 times 1 = 12 e . A fórmula da área de um triângulo com base e altura é:
Á
Aqui, a base é 1 (de a ) e a altura também é 1 (de a ). Então:
Á

Passo 6

Voltando à nossa integral dupla:
2 integral duplaD , dA = 2 times 12 = 1

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a) lim x -3 f(x)=infty
(b) lim x 4^4 f(x)=-infty
Calcule as derivadas das seguintes funçöes: log_2(sen(2x))
(a) Para quais valores de a, lim x a f(x) não existe?
(b) Para quais valores de a, f não é contínua?
© Para quais valores de a, lim x a f(x) existe, mas f não é contínua em a ?
Resolva os seguintes PVIs: y'' - 4y' + 4y = t^2 e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0