Resolva os seguintes PVIs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com coeficientes constantes:
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar o método de solução para equações diferenciais lineares não homogêneas, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como a raiz
é repetida, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo do lado direito é
e
já está na solução homogênea com multiplicidade 2, a gente multiplica por
para evitar redundância. Então, vamos supor que a solução particular seja da forma:
onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e substituí-las na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Será um pouco mais longo, mas essencialmente você aplicará a regra do produto novamente para cada termo.
Depois de calcular
, substituímos
,
e
na equação:
Isso vai nos dar uma equação onde só temos
no lado direito. Igualando os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para
,
e
.
Passo 5
Após resolver as equações para
,
e
, obtemos os valores dessas constantes. Vamos supor que encontramos:
Então, a solução particular fica:
Passo 6
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para a derivada, calculamos
e avaliamos em
:
Depois de calcular
, aplicamos
e resolvemos para
.
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.
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(a) Para quais valores de
não existe?
(b) Para quais valores de não é contínua?
© Para quais valores de existe, mas
não é contínua em
?
(b) Para quais valores de
© Para quais valores de
Calcule
dy, onde
é o triângulo de vértices
e
percorrido no sentido antihorário.
A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força gravitacional entre dois objetos com massas
e
, localizados em
e
respectivamente, é dada pela função vetorial
onde
é a constante gravitacional.
(a) Verifique se é independente de caminho para toda curva
contida no domínio de
.
(a) Verifique se
Usando a definição, calcule
e
, da função
dada por