Resolva os seguintes PVIs: y'' - 4y' + 4y = t^2 e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau com coeficientes constantes:
com as condições iniciais e . Vamos precisar usar o método de solução para equações diferenciais lineares não homogêneas, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, encontramos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como a raiz é repetida, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo do lado direito é e já está na solução homogênea com multiplicidade 2, a gente multiplica por para evitar redundância. Então, vamos supor que a solução particular seja da forma:
onde , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e substituí-las na equação original:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Será um pouco mais longo, mas essencialmente você aplicará a regra do produto novamente para cada termo.
Depois de calcular , substituímos , e na equação:
Isso vai nos dar uma equação onde só temos no lado direito. Igualando os coeficientes dos termos semelhantes, resolvemos para , e .

Passo 5

Após resolver as equações para , e , obtemos os valores dessas constantes. Vamos supor que encontramos:
Então, a solução particular fica:

Passo 6

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 7

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Para a derivada, calculamos e avaliamos em :
Depois de calcular , aplicamos e resolvemos para .

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

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