Calcule as derivadas das seguintes funçöes: log_2(sen(2x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função log_2(sen(2x)). Esse exercício está ligado ao estudo de derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar lembrar como derivar funções logarítmicas e trigonométricas, além de saber aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Isso significa que podemos reescrever log_2(sen(2x)) usando o logaritmo natural (ln), que é mais fácil de derivar.

Passo 3

Aplicando a propriedade do logaritmo, temos:
Aqui, é uma constante, já que 2 é a base do logaritmo.

Passo 4

Agora, vamos derivar a função em relação a x. Como é uma constante, podemos colocá-la fora da derivada:

Passo 5

Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a x é , onde .

Passo 6

Primeiro, encontramos a derivada de . Usando a regra da cadeia novamente:

Passo 7

Agora, substituímos u e na derivada de :
Aqui, é a cotangente, que é .

Passo 8

Voltando à nossa expressão original, multiplicamos pela constante:

Resposta

A derivada da função log_2(sen(2x)) é .

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