Calcule integralgamma F cdot d gamma, sendo dados F(x, y)=x^2 i+(x-y) j e gamma(t)=(t, sen t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x(t) = t . Ela está parametrizada por y(t) = sin t , então temos:
Isso significa que, conforme varia de a , a curva traça pontos no plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dgamma = gamma'(t) dt = ( dxdt i + dydt j ) dt , que é a derivada da curva em relação a dxdt = 1 :
dydt = cos t
Calculando as derivadas:
dgamma = (1 i + cos t j) dt
Então,

Passo 4

Vamos substituir a parametrização da curva na função campo F(gamma(t)) = F(t, sin t) = t^2 i + (t - sin t) j :
Isso nos dá a expressão de ao longo da curva .

Passo 5

Agora, montamos a integral de linha substituindo integral0^pi F(gamma(t)) cdot dgamma = integral0^pi ( t^2 i + (t - sin t) j ) cdot ( i + cos t j ) dt e F cdot dgamma = t^2 cdot 1 + (t - sin t) cdot cos t = t^2 + t cos t - sin t cos t :
integral0^pi ( t^2 + t cos t - sin t cos t ) dt
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada termo da integral separadamente:
  1. u = t Rightarrow du = dt
  2. dv = cos t dt Rightarrow v = sin t — Usando integração por partes: t sin t - integral sin t dt = t sin t + cos t |0^pi pi sin pi + cos pi - (0 sin 0 + cos 0) = 0 - 1 - (0 + 1) = -2 Então: 12 integral0^pi sin 2t dt = 12 [ -12 cos 2t ]0^pi = 12 ( -12 (cos 2pi - cos 0) ) = 0 Calculando:
  3. — Usando a identidade :

Resposta

Somando tudo:
pi^33 - 2 + 0 = pi^33 - 2
Portanto, a integral de linha é .

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