Calcule , sendo dados , sen .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por , então temos:
Isso significa que, conforme varia de a , a curva traça pontos no plano.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é a derivada da curva em relação a :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Vamos substituir a parametrização da curva na função campo :
Isso nos dá a expressão de ao longo da curva .

Passo 5

Agora, montamos a integral de linha substituindo e :
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver cada termo da integral separadamente:
  1. — Usando integração por partes: Então: Calculando:
  2. — Usando a identidade :

Resposta

Somando tudo:
Portanto, a integral de linha é .

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5a
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