Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela está parametrizada por , então temos:
Isso significa que, conforme varia de a , a curva traça pontos no plano.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar , que é a derivada da curva em relação a :
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Vamos substituir a parametrização da curva na função campo :
Isso nos dá a expressão de ao longo da curva .
Passo 5
Agora, montamos a integral de linha substituindo e :
Fazendo o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver cada termo da integral separadamente: