Marque verdadeiro ou falso. Justifique as alternativas falsas.
As funçôes f(t) e g(t) dadas abaixo tem transformadas de Laplace diferentes,
& f(t)= (t-1)^2+2 & t<1 0 & t >= 1 & g(t)= 0 & |t|>1 t^2+2 t+3 & |t| <= 1

Passo 1

Vamos analisar a afirmação de que as funções e têm transformadas de Laplace diferentes. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como calculá-la para funções que são definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transformada de Laplace da função Lf(t) = integral0^infty f(t) e^-st , dt :
f(t) = (t-1)^2 + 2 & se t < 1 0 & se t >= 1
Sabemos que:
Lf(t) = integral0^1 ( (t-1)^2 + 2 ) e^-st , dt
Como (t-1)^2 = t^2 - 2t + 1 é diferente de zero apenas para Lf(t) = integral0^1 ( t^2 - 2t + 1 + 2 ) e^-st , dt = integral0^1 ( t^2 - 2t + 3 ) e^-st , dt , a integral fica de 0 a 1:
Vamos expandir :
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace da função Lg(t) = integral0^infty g(t) e^-st , dt :
g(t) = 0 & se |t| > 1 t^2 + 2t + 3 & se |t| <= 1
Sabemos que:
Lg(t) = integral0^1 ( t^2 + 2t + 3 ) e^-st , dt
Como estamos considerando , a função fica diferente de zero apenas para . Portanto, a integral também vai de 0 a 1:

Resposta

A afirmação é verdadeira. As transformadas de Laplace de e são diferentes devido às expressões distintas das funções no intervalo .

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