Mostre que toda reta normal à esfera passa pelo centro da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que toda reta normal à esfera passa pelo centro da esfera. Vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e vetores normais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação dada representa uma esfera com centro na origem e raio .
Passo 3
Para encontrar a reta normal em um ponto qualquer na esfera, precisamos determinar o vetor normal à superfície nesse ponto. A maneira mais fácil de encontrar esse vetor é calcular o gradiente da função .
Passo 4
Calculando o gradiente de , temos:
Esse vetor é normal à esfera no ponto .
Passo 5
A equação paramétrica da reta normal passando pelo ponto e com direção dada pelo vetor normal é:
onde é o parâmetro.
Passo 6
Podemos simplificar as equações dividindo o lado direito por , e respectivamente, obtemos:
Isso mostra que todos os pontos da reta são múltiplos do ponto , ou seja, a reta passa pela origem , que é o centro da esfera.
Resposta
Assim, demonstramos que toda reta normal à esfera passa pelo seu centro .