Mostre que toda reta normal à esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2 passa pelo centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que toda reta normal à esfera passa pelo centro da esfera. Vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e vetores normais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação dada representa uma esfera com centro na origem e raio .

Passo 3

Para encontrar a reta normal em um ponto qualquer na esfera, precisamos determinar o vetor normal à superfície nesse ponto. A maneira mais fácil de encontrar esse vetor é calcular o gradiente da função .

Passo 4

Calculando o gradiente de , temos:
Esse vetor é normal à esfera no ponto .

Passo 5

A equação paramétrica da reta normal passando pelo ponto e com direção dada pelo vetor normal é:
onde é o parâmetro.

Passo 6

Podemos simplificar as equações dividindo o lado direito por , e respectivamente, obtemos:
Isso mostra que todos os pontos da reta são múltiplos do ponto , ou seja, a reta passa pela origem , que é o centro da esfera.

Resposta

Assim, demonstramos que toda reta normal à esfera passa pelo seu centro .

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integral0^pi / 2 integral0^1 integralpi / 6^pi / 4 2^x sen z cot y y d y d x d z;
integral0^3 integral0^2 integral0^1 4 x y z d z d x d y;
integral0^3 integral0^2 integral0^1(x+y+z) d x d y d z
Calcule integralgamma x d x+(x^2+y+z) d y+x y z d z, onde
gamma(t)=(t, 2 t,)^prime, 0 <= t <= 1.