Calcule integralgamma 2 x+y^2+z d s onde gamma: x=3 t, y=t, z=1,1 <= t <= 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é integralgamma 2x + y^2 + z , ds. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Pra isso, vamos precisar parametrizar a curva gamma e calcular o diferencial de arco ds.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva gamma. Ela é dada por:
x = 3t, y = t, z = 1, 1 <= t <= 3
Isso significa que à medida que t varia de 1 a 3, a posição na curva muda de acordo com essas equações.

Passo 3

Agora, vamos achar a derivada da posição em relação a t, que é r'(t). As derivadas são:
dxdt = 3, dydt = 1, dzdt = 0
Então, o vetor velocidade é r'(t) = lang<= 3, 1, 0 rang<=.

Passo 4

Em seguida, calculamos o módulo desse vetor para encontrar ds:
|r'(t)| = raiz3^2 + 1^2 + 0^2 = raiz9 + 1 = raiz10
Portanto, ds = raiz10, dt.

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização e ds na integral original:
integralgamma 2x + y^2 + z , ds = integral1^3 (2(3t) + t^2 + 1) raiz10, dt
Simplificando dentro da integral:
2(3t) = 6t, então 6t + t^2 + 1 ã
Portanto, a integral fica:
raiz10 integral1^3 (t^2 + 6t + 1), dt

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral t^2 , dt = t^33, integral 6t , dt = 3t^2, integral 1 , dt = t
Então,
raiz10 [ t^33 + 3t^2 + t ]1^3

Passo 7

Agora, avaliamos entre os limites 1 e 3:
Para t = 3:
3^33 + 3 cdot 3^2 + 3 = 273 + 27 + 3 = 9 + 27 + 3 = 39
Para t = 1:
1^33 + 3 cdot 1^2 + 1 = 13 + 3 + 1 = 13 + 4 = 133
A diferença é:
39 - 133 = 1173 - 133 = 1043

Passo 8

Multiplicamos pelo raiz10:
raiz10 cdot 1043 = 104raiz103

Resposta

O valor da integral é dfrac104,raiz103.

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