Calcule
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que é
. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Pra isso, vamos precisar parametrizar a curva
e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. Ela é dada por:
Isso significa que à medida que
varia de 1 a 3, a posição na curva muda de acordo com essas equações.
Passo 3
Agora, vamos achar a derivada da posição em relação a
, que é
. As derivadas são:
Então, o vetor velocidade é
.
Passo 4
Em seguida, calculamos o módulo desse vetor para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização e
na integral original:
Simplificando dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 7
Agora, avaliamos entre os limites 1 e 3:
Para :
Para
Para
:
A diferença é:
Passo 8
Multiplicamos pelo
:
Resposta
O valor da integral é
.
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