Encontre a derivada das seguintes funções (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função
. Isso está ligado ao conteúdo de derivadas, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essas regras para simplificar e encontrar a derivada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com um quociente de duas funções: o numerador
e o denominador
. Para derivar um quociente, usamos a Regra do Quociente, que diz:
Passo 3
Vamos primeiro derivar o numerador
:
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
. Observe que
é uma função composta, então usaremos a Regra da Cadeia:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão. Note que
e
. Assim, podemos fatorar
:
Passo 7
Agora, vamos expandir e simplificar o numerador:
Substituindo de volta:
Passo 8
Podemos fatorar o numerador para simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada da função é:
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Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo
Calcule
onde
.