Calcule integralS x^2 d S sendo S a parte lateral do cilindro x^2+y^2=4, com 0 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície integralS x^2 , dS, onde S é a parte lateral do cilindro definido por x^2 + y^2 = 4, entre z = 0 e z = 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral em superfícies, especificamente integrais de superfície em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado por (r, theta, z), onde r é o raio, theta é o ângulo e z é a altura. Como x^2 + y^2 = 4, o raio r é constante e igual a 2. Então, a parametrização fica:
x = 2 cos theta
y = 2 sin theta
z = z
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência, e z varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS na parametrização escolhida. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a theta e z:
partial rpartial theta = ( -2 sin theta, , 2 cos theta, , 0 )
partial rpartial z = ( 0, , 0, , 1 )
O produto vetorial desses vetores nos dá o vetor normal à superfície:
partial rpartial theta times partial rpartial z = ( 2 cos theta, , 2 sin theta, , 0 )
O módulo desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial z | = raiz(2 cos theta)^2 + (2 sin theta)^2 = 2
Então, o elemento de área é dS = 2 , dtheta , dz.

Passo 4

Substituindo x = 2 cos theta na integral original, temos x^2 = 4 cos^2 theta. Agora, expressamos a integral de superfície em termos de theta e z:
integralS x^2 , dS = integral0^2 integral0^2pi 4 cos^2 theta cdot 2 , dtheta , dz = 8 integral0^2 integral0^2pi cos^2 theta , dtheta , dz

Passo 5

Vamos calcular a integral interna integral0^2pi cos^2 theta , dtheta. Sabemos que:
integral cos^2 theta , dtheta = theta2 + sin 2theta4 + C
Portanto,
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = [ theta2 + sin 2theta4 ]0^2pi = 2pi2 + 0 - 0 = pi

Passo 6

Substituindo de volta na integral original:
8 integral0^2 pi , dz = 8pi cdot 2 = 16pi

Resposta

A integral integralS x^2 , dS vale 16pi.

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