Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte lateral do cilindro definido por , entre e . Isso envolve conceitos de cálculo integral em superfícies, especificamente integrais de superfície em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado por , onde é o raio, é o ângulo e é a altura. Como , o raio é constante e igual a . Então, a parametrização fica:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência, e varia de a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização escolhida. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e :
O produto vetorial desses vetores nos dá o vetor normal à superfície:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é .
Passo 4
Substituindo na integral original, temos . Agora, expressamos a integral de superfície em termos de e :