Calcule sendo a parte lateral do cilindro , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte lateral do cilindro definido por , entre e . Isso envolve conceitos de cálculo integral em superfícies, especificamente integrais de superfície em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a superfície lateral do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto na superfície pode ser representado por , onde é o raio, é o ângulo e é a altura. Como , o raio é constante e igual a . Então, a parametrização fica:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência, e varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na parametrização escolhida. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície em relação a e :
O produto vetorial desses vetores nos dá o vetor normal à superfície:
O módulo desse vetor é:
Então, o elemento de área é .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos . Agora, expressamos a integral de superfície em termos de e :

Passo 5

Vamos calcular a integral interna . Sabemos que:
Portanto,

Passo 6

Substituindo de volta na integral original:

Resposta

A integral vale .

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onde . Determine a taxa à qual o tanque está sendo drenado quando .
Suponha que você tem o campo vetorial definido no plano de vértices . Determine o fluxo na direção crescente de .
Calcule o valor das expressões numéricas;
a)
Calcule o valor das expressões numéricas;
c)