Suponha que você tem o campo vetorial definido no plano de vértices . Determine o fluxo na direção crescente de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um campo vetorial definido no plano com vértices em , , e . O objetivo é determinar o fluxo desse campo na direção crescente de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo passa por essa superfície na direção especificada. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície. O plano com os vértices dados forma um quadrado no plano , variando de a e de a .
Como queremos o fluxo na direção crescente de , precisamos encontrar um vetor normal à superfície que aponta nessa direção. No caso do plano , o vetor normal na direção positiva de é .

Passo 3

O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é dado pela integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície e é o elemento de área da superfície.

Passo 4

Vamos agora substituir o campo vetorial e o vetor normal na fórmula do fluxo:
O produto escalar simplifica para:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a superfície para calcular a integral. A superfície é o quadrado no plano , então podemos parametrizar usando e como variáveis:
O elemento de área aqui é simplesmente .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Aqui, substituímos por porque corresponde à coordenada no nosso sistema.

Passo 7

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:

Resposta

O fluxo do campo vetorial na direção crescente de é .

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