Suponha que você tem o campo vetorial
definido no plano
de vértices
. Determine o fluxo na direção crescente de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos um campo vetorial
definido no plano
com vértices em
,
,
e
. O objetivo é determinar o fluxo desse campo na direção crescente de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “força” do campo passa por essa superfície na direção especificada. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície. O plano
com os vértices dados forma um quadrado no plano
, variando de
a
e de
a
.
Como queremos o fluxo na direção crescente de
, precisamos encontrar um vetor normal à superfície que aponta nessa direção. No caso do plano
, o vetor normal na direção positiva de
é
.
Passo 3
O fluxo
de um campo vetorial
através de uma superfície
é dado pela integral de superfície:
onde
é o vetor normal à superfície e
é o elemento de área da superfície.
Passo 4
Vamos agora substituir o campo vetorial e o vetor normal na fórmula do fluxo:
O produto escalar
simplifica para:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a superfície para calcular a integral. A superfície é o quadrado no plano
, então podemos parametrizar usando
e
como variáveis:
O elemento de área
aqui é simplesmente
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Aqui, substituímos
por
porque
corresponde à coordenada
no nosso sistema.
Passo 7
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Agora, a integral externa:
Resposta
O fluxo do campo vetorial na direção crescente de
é
.
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minutos é dado por
onde
. Determine a taxa à qual o tanque está sendo drenado quando
.
Calcule
sendo
a parte lateral do cilindro
, com
.