Suponha que um tanque de água cilíndrico de 5000 litros pode ser drenado em 40 minutos. Então, segundo a lei de Torricelli, o volume de água dentro do tanque depois de
minutos é dado por
onde
. Determine a taxa à qual o tanque está sendo drenado quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tanque de água cilíndrico de 5000 litros que esvazia em 40 minutos. A gente tem uma função que mostra quanto de água ainda tem no tanque após t minutos:
Queremos descobrir quanto rápido o tanque está esvaziando aos 10, 20 e 30 minutos. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que ajuda a achar a taxa de variação de algo no tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
em relação ao tempo t. A derivada vai nos dizer a taxa de drenagem, ou seja, quão rápido o volume de água está diminuindo naquele instante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
.
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de t na derivada para achar a taxa de drenagem em cada momento:
-
Para
minutos: -
Para
minutos: -
Para
minutos:
Resposta
A taxa de drenagem é de -187,5 litros/min aos 10 minutos, -125 litros/min aos 20 minutos e -62,5 litros/min aos 30 minutos.
Exercícios relacionados
Suponha que você tem o campo vetorial
definido no plano
de vértices
. Determine o fluxo na direção crescente de
.
Calcule
sendo
a parte lateral do cilindro
, com
.
Calcule o valor das expressões numéricas;
a)
a)