Suponha que um tanque de água cilíndrico de 5000 litros pode ser drenado em 40 minutos. Então, segundo a lei de Torricelli, o volume de água dentro do tanque depois de minutos é dado por
onde . Determine a taxa à qual o tanque está sendo drenado quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um tanque de água cilíndrico de 5000 litros que esvazia em 40 minutos. A gente tem uma função que mostra quanto de água ainda tem no tanque após t minutos:
Queremos descobrir quanto rápido o tanque está esvaziando aos 10, 20 e 30 minutos. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que ajuda a achar a taxa de variação de algo no tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função em relação ao tempo t. A derivada vai nos dizer a taxa de drenagem, ou seja, quão rápido o volume de água está diminuindo naquele instante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de .
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de t na derivada para achar a taxa de drenagem em cada momento:
  • Para minutos:
  • Para minutos:
  • Para minutos:

Resposta

A taxa de drenagem é de -187,5 litros/min aos 10 minutos, -125 litros/min aos 20 minutos e -62,5 litros/min aos 30 minutos.

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Calcule sendo a parte lateral do cilindro , com .
Calcule o valor das expressões numéricas;
a)