Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s) :
F(s) = e^(-4 s) * (2 s - 1) / (s^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso está relacionado ao estudo das Transformadas de Laplace, que são usadas para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente a propriedade do deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte principal da função, ou seja, . Precisamos encontrar a transformada inversa de Laplace dessa fração. Sabemos que:
No nosso caso, , porque .

Passo 3

Vamos separar a fração em duas partes:
Agora, aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
Então, a transformada inversa de é:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o termo . Isso representa um deslocamento no tempo na transformada inversa. A propriedade de deslocamento na transformada de Laplace diz que:
Onde é a função degrau de Heaviside, e é a função deslocada.
No nosso caso, e .

Passo 5

Aplicando a propriedade de deslocamento:
Isso significa que a função começa a agir a partir de .

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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f(t) = { t-1, 0 <= t < 1; t^2, 1 <= t < 2; 1, t >= 2 }
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