Considere a EDO de Bernoulli:
x dy/dx - y = y^3
Faça a substituição y = z^(-1/2) e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Bernoulli, que é um tipo especial de equação que podemos resolver usando uma substituição adequada. O enunciado nos dá a EDO:
E nos pede para fazer a substitição e reescrever a EDO nas variáveis e . Para isso, vamos precisar usar técnicas de substituição em EDOs, especificamente para resolver equações de Bernoulli.

Passo 2

Vamos começar fazendo a substituição proposta: . Isso significa que queremos expressar em termos de . Para substituir na EDO, precisamos encontrar a derivada de em relação a .
Primeiro, derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar em função de , que por sua vez é função de .

Passo 3

Agora, vamos substituir e na EDO original:
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo (lado direito da equação):

Passo 4

Substituindo os termos simplificados na equação, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar :
Primeiro, movemos para o outro lado:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Portanto, a EDO transformada nas variáveis e é:

Resposta

A EDO correspondente nas variáveis e é:

Exercícios relacionados

Considere a EDO homogênea:
(x^2 + y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0 (x^2 - y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0
Faça a substituição z = y / x e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.
Resolva o seguinte P.V.I:
x^2 y' + x y = x cos(x), x > 0 e y(pi/2) = 0
Expresse f(t) utilizando funções escada u(t-a) = ua(t) :
f(t) = { t-1, 0 <= t < 1; t^2, 1 <= t < 2; 1, t >= 2 }
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s) :
F(s) = e^(-4 s) * (2 s - 1) / (s^2 + 4)