Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem. Basicamente, isso significa que estamos lidando com um conjunto de equações onde todas as derivadas estão relacionadas entre si sem termos independentes. O que precisamos para resolver esse sistema é encontrar os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz que está na equação. Esses conceitos fazem parte da álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema:
Para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação característica:
Aqui, representa os valores próprios e é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 4
Simplificando o determinante:
Continuando:
Passo 5
Agora, temos a equação cúbica:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando :
Testando :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Portanto, os valores próprios são (com multiplicidade 2) e .
Passo 7
Agora, vamos encontrar os vetores próprios para cada valor próprio.
Para :
Resolviendo :
Resolvendo o sistema, encontramos que um vetor próprio é:
Para :
Resolviendo :
Resolvendo o sistema, encontramos dois vetores próprios linearmente independentes:
Resposta
A solução geral do sistema é uma combinação linear dos vetores próprios multiplicados por . Assim, temos: