Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a inversa da Transformada de Laplace de . Vamos usar conceitos de Transformada de Laplace e técnicas de frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, a gente vai decompor a fração usando frações parciais. Isso ajuda a simplificar a expressão para facilitar a inversa. A expressão dada é:
Vamos supor que ela possa ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos do lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Do terceiro equação, já sabemos que . Substituindo em :
Agora, substituindo e na segunda equação:

Passo 5

Agora que temos , e , podemos reescrever como:

Passo 6

Agora, vamos calcular a inversa da Transformada de Laplace de cada termo separadamente:

Resposta

A inversa da Transformada de Laplace de é:

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Mostre que a solução do PVI
é dada por .