Use a redução de ordem para encontrar uma segunda solução para as equações diferenciais: x^2 y'' + 3 x y - y = 0, x > 0, y1(x) = x^(-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: , onde . A gente sabe que já é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar alguns passos matemáticos básicos.

Passo 2

Primeiro, como já temos uma solução conhecida , a gente pode assumir que a segunda solução pode ser escrita como , onde é uma função que a gente precisa descobrir. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de . Vamos calcular e :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:

Passo 5

Simplificando cada termo:
Juntando tudo:

Passo 6

Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
Isso resulta em:

Passo 7

Para simplificar a equação, vamos dividir todos os termos por :
Agora, percebemos que é uma equação diferencial para .

Passo 8

Vamos assumir que . Então, temos:
Substituindo na equação:
Mas essa abordagem pode complicar. Em vez disso, podemos notar que a equação é lineal e procurar uma solução para .

Passo 9

Rearranjando a equação:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando técnicas de integração. Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por :

Passo 10

Agora, observamos que a equação se torna homogênea e pode ser resolvida por métodos padrão. No entanto, para simplificar, podemos utilizar a substituição , o que transforma a equação em:
Ainda, percebemos que essa abordagem não está facilitando muito. Vamos então reconhecer que a solução para envolve integração.

Passo 11

De volta à expressão original:
Onde . Calculando a integral no expoente:
Então:
Agora, . Substituindo na fórmula:

Resposta

A segunda solução é .

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