Use a redução de ordem para encontrar uma segunda solução para as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
, onde
. A gente sabe que
já é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender como o método funciona e aplicar alguns passos matemáticos básicos.
Passo 2
Primeiro, como já temos uma solução conhecida
, a gente pode assumir que a segunda solução
pode ser escrita como
, onde
é uma função que a gente precisa descobrir. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda de
. Vamos calcular
e
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Simplificando cada termo:
Juntando tudo:
Passo 6
Agora, vamos simplificar os termos semelhantes:
Isso resulta em:
Passo 7
Para simplificar a equação, vamos dividir todos os termos por
:
Agora, percebemos que é uma equação diferencial para
.
Passo 8
Vamos assumir que
. Então, temos:
Substituindo na equação:
Mas essa abordagem pode complicar. Em vez disso, podemos notar que a equação é lineal e procurar uma solução para
.
Passo 9
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação diferencial que podemos resolver usando técnicas de integração. Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, observamos que a equação se torna homogênea e pode ser resolvida por métodos padrão. No entanto, para simplificar, podemos utilizar a substituição
, o que transforma a equação em:
Ainda, percebemos que essa abordagem não está facilitando muito. Vamos então reconhecer que a solução para
envolve integração.
Passo 11
De volta à expressão original:
Onde
. Calculando a integral no expoente:
Então:
Agora,
. Substituindo na fórmula:
Resposta
A segunda solução é
.