Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler-Cauchy que a gente encontrou aqui:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de Euler-Cauchy, que é uma forma especial de equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, a gente vai assumir que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos descobrir.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
tem a forma
. Com essa suposição, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 4
Agora, podemos fatorar
de toda a expressão:
Como
nunca é zero para
, podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Vamos expandir e simplificar essa equação:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática para
:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para
:
Resposta
A solução geral da equação de Euler-Cauchy dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use a redução de ordem para encontrar uma segunda solução para as equações diferenciais:
Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas
e
são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
Calcule a inversa da Transformada de Laplace
, sendo:
Encontre os domínios das funções
e
.