Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler-Cauchy que a gente encontrou aqui:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de Euler-Cauchy, que é uma forma especial de equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, a gente vai assumir que a solução tem a forma , onde é um número que vamos descobrir.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma . Com essa suposição, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 4

Agora, podemos fatorar de toda a expressão:
Como nunca é zero para , podemos igualar o que está dentro dos parênteses a zero:
Vamos expandir e simplificar essa equação:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática para :
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas soluções para :

Resposta

A solução geral da equação de Euler-Cauchy dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Encontre os domínios das funções e .