Mostre que a solução do PVI
é dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a solução do seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
é dada por
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver PVIs, como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação diferencial, ou seja, quando . Assim, temos:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Como para todo , temos que:

Passo 4

As raízes são complexas conjugadas e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Para isso, vamos usar o método da variação das constantes. A ideia é procurar uma solução particular na forma:

Passo 6

Com a solução homogênea e a solução particular , a solução geral da equação completa é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:
Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, substituímos :

Passo 8

Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na solução geral:

Resposta

Assim, mostramos que a solução do PVI dado é:

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