Calcule, justificando cada passagem (não se preocupe com o domínio de f(x) ): d/dx cos(ln(ln(x)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as camadas dessa função composta. Vamos chamar de . Assim, nossa função fica .

Passo 3

Agora, para derivar em relação a x, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a u é , e depois multiplicamos pela derivada de u em relação a x. Ou seja:

Passo 4

Vamos agora derivar . Novamente, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a v é , então:

Passo 5

Finalmente, derivamos ln x em relação a x. Sabemos que a derivada de ln x é 1/x. Então substituindo:

Resposta

Juntando tudo, a derivada de é:

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