Determine as derivadas parciais.
h) z = (x^2 - y^2) / (1 + x^2 + y^2)

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e . Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, que ajuda quando temos uma divisão de duas funções que dependem das mesmas variáveis.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Segundo a regra do quociente, se temos , a derivada em relação a é:
Aqui, e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usamos novamente a regra do quociente:
Simplificando:
Distribuindo os termos:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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