Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
f(x) = { 0, -pi <= x <= 0 ; sen^2(x), 0 <= x <= pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função dada, que é definida em um período. A matéria envolvida aqui é a Análise de Fourier, que ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. Ela é definida assim:
Então, de a , a função é zero, e de a , ela é .

Passo 3

A série de Fourier de uma função periódica com período é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente constante.
  • são os coeficientes dos cossenos.
  • são os coeficientes dos senos.
Vamos calcular cada um desses coeficientes.

Passo 4

Primeiro, calculamos , que é dado por:
Como a funç��o é zero de a , a integral fica só de a :
Sabemos que , então:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 5

Agora vamos calcular os coeficientes :
Novamente, a função é zero de a , então:
Usando a identidade :
Distribuindo:
Essas integrais podem ser resolvidas usando fórmulas de produtos de cossenos, mas vamos observar que, devido à simetria da função, para , os coeficientes serão zero. Portanto, apenas será diferente de zero.
Calculando :
Expandindo:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 6

Agora vamos calcular os coeficientes :
Como a função é zero de a :
Usando novamente :
Distribuindo:
Essas integrais também podem ser resolvidas usando f��rmulas de produtos de seno e cosseno, mas vamos notar que, devido à simetria da função, todos os coeficientes serão zero.

Resposta

A série de Fourier da função é:

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