Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função dada, que é definida em um período. A matéria envolvida aqui é a Análise de Fourier, que ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier e aplicar as fórmulas corretas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos. Ela é definida assim:
Então, de
a
, a função é zero, e de
a
, ela é
.
Passo 3
A série de Fourier de uma função periódica
com período
é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente constante. -
são os coeficientes dos cossenos. -
são os coeficientes dos senos.
Vamos calcular cada um desses coeficientes.
Passo 4
Primeiro, calculamos
, que é dado por:
Como a funç��o é zero de
a
, a integral fica só de
a
:
Sabemos que
, então:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 5
Agora vamos calcular os coeficientes
:
Novamente, a função é zero de
a
, então:
Usando a identidade
:
Distribuindo:
Essas integrais podem ser resolvidas usando fórmulas de produtos de cossenos, mas vamos observar que, devido à simetria da função, para
, os coeficientes
serão zero. Portanto, apenas
será diferente de zero.
Calculando
:
Expandindo:
Calculando as integrais:
Então:
Passo 6
Agora vamos calcular os coeficientes
:
Como a função é zero de
a
:
Usando novamente
:
Distribuindo:
Essas integrais também podem ser resolvidas usando f��rmulas de produtos de seno e cosseno, mas vamos notar que, devido à simetria da função, todos os coeficientes
serão zero.
Resposta
A série de Fourier da função
é: