Considere a função f(x) = 1/(1+x^2). Determine máximos e mínimos locais e globais.

Passo 1

Vamos entender o que precisa ser feito. Temos a função e precisamos encontrar seus máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a identificar onde a função atinge esses pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra como a função está mudando em relação a , ou seja, se está aumentando ou diminuindo. A derivada de é dada por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada está definida para todos os valores de , então igualamos a zero:
Isso só acontece quando o numerador é zero:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função nesse ponto. Calculamos a segunda derivada de :
Simplificando para :
Como , isso indica que a função está concava para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo local.

Passo 5

Para determinar se esse máximo local é também um máximo global, observamos o comportamento da função para valores de muito grandes ou muito negativos. Quando tende ao infinito ou a menos infinito, tende a zero:
Isso significa que o valor máximo da função ocorre em e que não há mínimos globais, já que a função nunca atinge um valor mínimo positivo, apenas se aproxima de zero.

Resposta

A função tem um único máximo local e global em . Não existem mínimos locais ou globais para esta função.

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