Considere a função
. Determine máximos e mínimos locais e globais.
Passo 1
Vamos entender o que precisa ser feito. Temos a função
e precisamos encontrar seus máximos e mínimos, tanto locais quanto globais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a identificar onde a função atinge esses pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos mostra como a função está mudando em relação a
, ou seja, se está aumentando ou diminuindo. A derivada de
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função, que são os valores de
onde a derivada
é igual a zero ou não existe. Nesse caso, a derivada está definida para todos os valores de
, então igualamos
a zero:
Isso só acontece quando o numerador é zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar a segunda derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função nesse ponto. Calculamos a segunda derivada de
:
Simplificando para
:
Como
, isso indica que a função está concava para baixo nesse ponto, ou seja,
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Para determinar se esse máximo local é também um máximo global, observamos o comportamento da função para valores de
muito grandes ou muito negativos. Quando
tende ao infinito ou a menos infinito,
tende a zero:
Isso significa que o valor máximo da função ocorre em
e que não há mínimos globais, já que a função nunca atinge um valor mínimo positivo, apenas se aproxima de zero.
Resposta
A função
tem um único máximo local e global em
. Não existem mínimos locais ou globais para esta função.