Considere a função f(x)=x^2+x-1x^2. $(d) (2 pontos) Encontre o(s) número(s) crítico(s) de (d) (2 pontos) Encontre o(s) número(s) crítico(s) de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar os números críticos da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas. Os números críticos são os valores de onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Vamos precisar calcular a derivada de e encontrar onde ela se anula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 . Como é uma fração, podemos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos derivar u'(x) = 2x + 1 e v'(x) = 2x :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = (2x + 1)(x^2) - (x^2 + x - 1)(2x)x^4
Vamos simplificar o numerador:
(2x + 1)(x^2) = 2x^3 + x^2
(x^2 + x - 1)(2x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x
Subtraindo as duas expressões:
2x^3 + x^2 - (2x^3 + 2x^2 - 2x) = -x^2 + 2x
Então, a derivada fica:
f'(x) = -x^2 + 2xx^4 = -x + 2x^3

Passo 5

Para encontrar os números críticos, igualamos a derivada a zero:
-x + 2x^3 = 0
O numerador deve ser zero:
- x + 2 = 0 implies x = 2
Também verificamos onde a derivada não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando . Porém, não está no domínio da função original, então não consideramos esse ponto como crítico.

Resposta

O número crítico da função é .

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