Use a continuidade das funções do exercício anterior para calcular os limites abaixo.
(b) lim x pi 6+sen(x+sen x)x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando se aproxima de da função . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade das funções, que basicamente nos permite substituir o valor que está se aproximando diretamente na função, desde que tudo seja bem comportado (sem divisões por zero, por exemplo).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em . Sabemos que a função seno ( ) é contínua em todos os pontos, e polinômios como também são contínuos em todo lugar. Então, podemos seguir em frente e substituir por diretamente na expressão.

Passo 3

Vamos calcular o numerador:
6 + sin(pi + sin pi)
Sabemos que 6 + sin(pi + 0) = 6 + sin pi = 6 + 0 = 6 , então a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o denominador substituindo (pi)^2 = pi^2 por :
Sabemos que é aproximadamente 3,1416, então é aproximadamente 9,8696.

Passo 5

Com os valores do numerador e denominador em mãos, podemos calcular o limite:
lim x pi 6 + sin(x + sin x)x^2 = 6pi^2 approx 69,8696 approx 0,608

Resposta

O limite é aproximadamente .

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