Calcule
sendo

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! Temos que calcular a soma de dois limites quando se aproxima de 1, um pela direita ( ) e outro pela esquerda ( ). A função é definida de forma diferente dependendo se é maior ou igual a 1 ou menor que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites laterais e trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 ( ). Nessa região, a função é definida por .

Passo 3

Vamos identificar o valor de . Como está incluído na parte , substituímos na expressão:

Passo 4

Agora, montamos o quociente de diferença para o lado direito:
Podemos simplificar no numerador e denominador:
Assim, o limite quando se aproxima de 1 pela direita é 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1 ( ). Nessa região, a função é definida por .

Passo 6

Usamos o mesmo valor de para montar o quociente de diferença:
Lembrando que pode ser fatorado como :
Agora, calculamos o limite substituindo por 1:

Resposta

Somando os dois limites calculados:
Portanto, o valor final da expressão é 5.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada. ;
Determine a derivada das curvas dadas abaixo:
Seja a função dada por
(a) Calcule .
(b) A função é contínua em ? Justifique sua resposta.
Mostre que: Se , então .