Calcule
lim x 1^+ f(x)-f(1)x-1+lim x 1^- f(x)-f(1)x-1
sendo
f(x)=lll 3 x-1 & se & x >= 1 x^2+1 & se & x<1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! Temos que calcular a soma de dois limites quando se aproxima de 1, um pela direita ( ) e outro pela esquerda ( ). A função é definida de forma diferente dependendo se é maior ou igual a 1 ou menor que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites laterais e trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 ( ). Nessa região, a função é definida por .

Passo 3

Vamos identificar o valor de f(1) = 3(1) - 1 = 2 . Como está incluído na parte , substituímos na expressão:

Passo 4

Agora, montamos o quociente de diferença para o lado direito:
f(x) - f(1)x - 1 = (3x - 1) - 2x - 1 = 3x - 3x - 1 = 3(x - 1)x - 1
Podemos simplificar 3(x - 1)x - 1 = 3 no numerador e denominador:
Assim, o limite quando se aproxima de 1 pela direita é 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1 ( ). Nessa região, a função é definida por .

Passo 6

Usamos o mesmo valor de f(x) - f(1)x - 1 = (x^2 + 1) - 2x - 1 = x^2 - 1x - 1 para montar o quociente de diferença:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1
Lembrando que limx 1^- (x + 1) = 2 pode ser fatorado como :
Agora, calculamos o limite substituindo por 1:

Resposta

Somando os dois limites calculados:
3 + 2 = 5
Portanto, o valor final da expressão é 5.

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