Calcule
sendo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! Temos que calcular a soma de dois limites quando
se aproxima de 1, um pela direita (
) e outro pela esquerda (
). A função
é definida de forma diferente dependendo se
é maior ou igual a 1 ou menor que 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites laterais e trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, quando
se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1 (
). Nessa região, a função é definida por
.
Passo 3
Vamos identificar o valor de
. Como
está incluído na parte
, substituímos na expressão:
Passo 4
Agora, montamos o quociente de diferença para o lado direito:
Podemos simplificar
no numerador e denominador:
Assim, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita é 3.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, quando
se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1 (
). Nessa região, a função é definida por
.
Passo 6
Usamos o mesmo valor de
para montar o quociente de diferença:
Lembrando que
pode ser fatorado como
:
Agora, calculamos o limite substituindo
por 1:
Resposta
Somando os dois limites calculados:
Portanto, o valor final da expressão é 5.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
;
Determine a derivada
das curvas dadas abaixo:
Seja
a função dada por
(a) Calcule
.
(b) A função é contínua em
? Justifique sua resposta.
(b) A função
Mostre que: Se
, então
.