Determine a derivada
das curvas dadas abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação que relaciona
e
:
. Nosso objetivo é encontrar a derivada
, que mostra como
muda em relação a
. Para isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para derivar equações onde
não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos
em relação a
, usamos a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
:
Aqui, temos um produto de
e
. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, derivamos o segundo termo
:
Aqui também temos um produto, então usamos a regra do produto novamente.
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto na derivada da equação original:
Passo 6
Agora, vamos isolar
. Primeiro, agrupamos os termos que contêm
:
Fatorando
do lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A derivada
das curvas é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada
das curvas dadas abaixo:
a)
a)
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
;
Calcule
sendo