Determine a derivada das curvas dadas abaixo:

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que relaciona e : . Nosso objetivo é encontrar a derivada , que mostra como muda em relação a . Para isso, vamos usar o diferencial implícito, que é uma técnica para derivar equações onde não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos em relação a , usamos a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Derivando o primeiro termo :
Aqui, temos um produto de e . Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo :
Aqui também temos um produto, então usamos a regra do produto novamente.
Calculando cada parte:
Então:

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto na derivada da equação original:

Passo 6

Agora, vamos isolar . Primeiro, agrupamos os termos que contêm :
Fatorando do lado esquerdo:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada das curvas é:

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Determine a derivada das curvas dadas abaixo:
a)
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada. ;
Calcule
sendo