(a) Calcule .
(b) A função é contínua em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, temos uma função chamada que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de . A gente precisa resolver duas partes do exercício:
(a) Calcular o limite de quando se aproxima de .
(b) Verificar se a função é contínua em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, que são partes importantes do cálculo. Vamos passo a passo para entender melhor!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): calcular .
A função é dada por:
E se .
Queremos ver o que acontece com quando está bem perto de . Vamos substituir por na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos usar outra técnica para resolver, como a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração derivando o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Vamos substituir nessa nova expressão:
E no denominador:
Portanto, o limite fica:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): verificar se a função é contínua em .
Para a função ser contínua em um ponto, o limite quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Da parte (a), sabemos que:
E, pelo enunciado:
Como , a função não é contínua em .
Resposta
(a)
(b) A função não é contínua em porque o limite quando se aproxima de é diferente do valor da função nesse ponto.