Seja
a função dada por
(a) Calcule
.
(b) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
(b) A função
Passo 1
Então, temos uma função chamada
que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de
. A gente precisa resolver duas partes do exercício:
(a) Calcular o limite de quando
se aproxima de
.
(b) Verificar se a função é contínua em
.
(a) Calcular o limite de
(b) Verificar se a função
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, que são partes importantes do cálculo. Vamos passo a passo para entender melhor!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a): calcular
.
A função
é dada por:
E
se
.
Queremos ver o que acontece com
quando
está bem perto de
. Vamos substituir
por
na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos usar outra técnica para resolver, como a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração
derivando o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Agora, o limite fica:
Passo 4
Vamos substituir
nessa nova expressão:
E no denominador:
Portanto, o limite fica:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): verificar se a função
é contínua em
.
Para a função ser contínua em um ponto, o limite quando
se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Da parte (a), sabemos que:
E, pelo enunciado:
Como
, a função não é contínua em
.
Resposta
(a)
(b) A função não é contínua em
porque o limite quando
se aproxima de
é diferente do valor da função nesse ponto.
(b) A função