Seja f: R R a função dada por
f(x)=ccc raizx^2+16-5x^2+3 x & se & x neq-3 1 & se & x=-3
(a) Calcule lim x -3 f(x).
(b) A função f é contínua em x=-3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, temos uma função chamada que é definida de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de . A gente precisa resolver duas partes do exercício:
(a) Calcular o limite de quando se aproxima de .
(b) Verificar se a função é contínua em .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade, que são partes importantes do cálculo. Vamos passo a passo para entender melhor!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): calcular f(x) = raizx^2+16 - 5x^2 + 3x se x neq -3 .
A função raiz(-3)^2 + 16 - 5 = raiz9 + 16 - 5 = raiz25 - 5 = 5 - 5 = 0 é dada por:
(-3)^2 + 3(-3) = 9 - 9 = 0
E se .
Queremos ver o que acontece com quando está bem perto de . Vamos substituir por na expressão:
No numerador:
No denominador:
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos usar outra técnica para resolver, como a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite calcular o limite de uma fração ddx ( raizx^2 + 16 - 5 ) = xraizx^2 + 16 derivando o numerador e o denominador separadamente.
Derivando o numerador:
ddx ( x^2 + 3x ) = 2x + 3
Derivando o denominador:
limx to -3 xraizx^2 + 162x + 3
Agora, o limite fica:

Passo 4

Vamos substituir -3raiz(-3)^2 + 16 = -3raiz9 + 16 = -35 nessa nova expressão:
2(-3) + 3 = -6 + 3 = -3
E no denominador:
-3/5-3 = (-3/5)(-3) = 15
Portanto, o limite fica:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): verificar se a função limx to -3 f(x) = f(-3) é contínua em limx to -3 f(x) = 15 .
Para a função ser contínua em um ponto, o limite quando f(-3) = 1 se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Da parte (a), sabemos que:
E, pelo enunciado:
Como , a função não é contínua em .

Resposta

(a)
(b) A função não é contínua em porque o limite quando se aproxima de é diferente do valor da função nesse ponto.

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