Calcule. lim x 2 2 x^3-5 x^2+3 x-23 x^3-6 x^2+x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando lim x 2 2 x^3-5 x^2+3 x-23 x^3-6 x^2+x-2 se aproxima de 2 da função:
Vamos precisar usar conhecimentos de limites, especialmente sobre o que fazer quando temos uma indeterminação do tipo . Isso geralmente envolve fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 2 = 16 - 20 + 6 - 2 = 0 diretamente na expressão. Substituindo no numerador:
3(2)^3 - 6(2)^2 + 2 - 2 = 24 - 24 + 2 - 2 = 0
E no denominador:
Como obtemos , precisamos fatorar para simplificar.

Passo 3

Sabemos que se faz com que o numerador e o denominador sejam zero, então é um fator comum. Vamos fatorar o numerador e o denominador dividindo cada um por .

Passo 4

Fatorando o numerador:
2x^3 - 5x^2 + 3x - 2
Usando a divisão sintética ou fatoração, descobrimos que:
2x^3 - 5x^2 + 3x - 2 = (x - 2)(2x^2 - x + 1)

Passo 5

Fatorando o denominador:
3x^3 - 6x^2 + x - 2
Fatorando de forma semelhante:
3x^3 - 6x^2 + x - 2 = (x - 2)(3x^2 + 1)

Passo 6

Agora que temos os fatores, podemos simplificar a expressão original:
2x^3 - 5x^2 + 3x - 23x^3 - 6x^2 + x - 2 = (x - 2)(2x^2 - x + 1)(x - 2)(3x^2 + 1)
Cancelando o 2x^2 - x + 13x^2 + 1 que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo 2(2)^2 - 2 + 13(2)^2 + 1 = 8 - 2 + 112 + 1 = 713 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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