Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando se aproxima de 2 da função:
Vamos precisar usar conhecimentos de limites, especialmente sobre o que fazer quando temos uma indeterminação do tipo . Isso geralmente envolve fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos diretamente na expressão. Substituindo no numerador:
E no denominador:
Como obtemos , precisamos fatorar para simplificar.

Passo 3

Sabemos que se faz com que o numerador e o denominador sejam zero, então é um fator comum. Vamos fatorar o numerador e o denominador dividindo cada um por .

Passo 4

Fatorando o numerador:
Usando a divisão sintética ou fatoração, descobrimos que:

Passo 5

Fatorando o denominador:
Fatorando de forma semelhante:

Passo 6

Agora que temos os fatores, podemos simplificar a expressão original:
Cancelando o que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Uma prestadora de serviços cobra pela visita à residência do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço na residência. O valor da visita é R $ 45 e o valor da hora para realização do serviço é $ 25. Responda:
b) Qual o valor a ser pago por um serviço que durou ?
Calcule.
Sejam e deriváveis em e uma constante. demonstre que:
Derive.