Sejam e deriváveis em e uma constante. demonstre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada da soma de duas funções, , é igual à soma das derivadas dessas funções individualmente. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar o conceito de derivada e a definição do limite, que são fundamentais no cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando o incremento tende a zero. Matemáticamente, isso é dado por:
E o mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos considerar a derivada da soma :

Passo 4

Expandindo as funções dentro do limite:

Passo 5

Podemos separar os termos semelhantes:

Passo 6

Usando a propriedade dos limites que permite separar:

Passo 7

Reconhecendo as definições das derivadas de e :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Calcule.
Uma prestadora de serviços cobra pela visita à residência do cliente e pelo tempo necessário para realizar o serviço na residência. O valor da visita é R $ 45 e o valor da hora para realização do serviço é $ 25. Responda:
b) Qual o valor a ser pago por um serviço que durou ?
Derive.
Derive.