Sejam f e g deriváveis em x e k uma constante. demonstre que: (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada da soma de duas funções, , é igual à soma das derivadas dessas funções individualmente. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar o conceito de derivada e a definição do limite, que são fundamentais no cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando o incremento tende a zero. Matemáticamente, isso é dado por:
E o mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos considerar a derivada da soma :

Passo 4

Expandindo as funções dentro do limite:

Passo 5

Podemos separar os termos semelhantes:

Passo 6

Usando a propriedade dos limites que permite separar:

Passo 7

Reconhecendo as definições das derivadas de e :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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