Sejam
e
deriváveis em
e
uma constante. demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a derivada da soma de duas funções,
, é igual à soma das derivadas dessas funções individualmente. Ou seja, queremos provar que:
Para isso, vamos usar o conceito de derivada e a definição do limite, que são fundamentais no cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a derivada de uma função em um ponto
é o limite da taxa de variação da função quando o incremento
tende a zero. Matemáticamente, isso é dado por:
E o mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a derivada da soma
:
Passo 4
Expandindo as funções dentro do limite:
Passo 5
Podemos separar os termos semelhantes:
Passo 6
Usando a propriedade dos limites que permite separar:
Passo 7
Reconhecendo as definições das derivadas de
e
:
Resposta
Portanto, mostramos que: