Calcule:
lim t 3(t^2-9t^3-27, t^2-6 t+9t-3, t-3t^2+t-9)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de três frações diferentes quando se aproxima de 3. A gente vai usar conceitos de limites e fatoração para resolver isso. Precisamos entender como simplificar as expressões para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira fração: t^2-9t^3-27 = (t - 3)(t + 3)(t - 3)(t^2 + 3t + 9) .
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados:
  • t + 3t^2 + 3t + 9 é uma diferença de quadrados, que fatoramos assim: 3 + 33^2 + 3 times 3 + 9 = 69 + 9 + 9 = 627 = 29 .
  • é uma diferença de cubos, que fatoramos assim: .
Então, temos:
Agora, podemos cancelar o que aparece no numerador e no denominador:
Agora, substituímos :

Passo 3

Agora, vamos para a segunda fração: (t - 3)^2t - 3 .
Primeiro, fatoramos o numerador:
  • t - 3 é um trinômio quadrado perfeito, que fatoramos assim: 3 - 3 = 0 .
Então, temos:
Podemos simplificar cancelando um :
Agora, substituímos :

Passo 4

Por último, vamos para a terceira fração: 3 - 33^2 + 3 - 9 = 09 + 3 - 9 = 03 = 0 .
Aqui, a expressão já está simplificada e não temos como fatorar facilmente o denominador. Então, simplesmente substituímos :

Resposta

( 29, 0, 0 )

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