Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t)+h(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite, quando se aproxima de 0, da soma das funções vetoriais e . Esse tipo de problema está ligado ao Cálculo de Limites em funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar somar as funções componente a componente e depois calcular o limite de cada uma delas individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as funções f(t) = ( t, , 1, , t^2 ) e h(t) = ( e^t, , t^2 + 2, , 0 ) componente a componente. As funções são dadas por:
f(t) + h(t) = ( t + e^t, , 1 + t^2 + 2, , t^2 + 0 )
f(t) + h(t) = ( t + e^t, , t^2 + 3, , t^2 )
Somando cada componente correspondente:
Simplificando as componentes:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de cada componente quando limt to 0 (t + e^t) = limt to 0 t + limt to 0 e^t = 0 + 1 = 1 se aproxima de 0.
  1. Primeira componente:
limt to 0 (t^2 + 3) = limt to 0 t^2 + limt to 0 3 = 0 + 3 = 3
Explicação: Sabemos que limt to 0 t^2 = 0 e .
  1. Segunda componente:
Explicação: e 3 é uma constante, então o limite é ele mesmo.
  1. Terceira componente:
Explicação: Claramente, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0.

Resposta

Portanto, o limite quando limt to 0 (f(t) + h(t)) = ( 1, , 3, , 0 ) se aproxima de 0 da soma das funções e é:

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