Dadas as funções f(t) = (t, 1, t^2), g(t) = (t-1, t^2, t^2-1) e h(t) = (e^t, t^2 + 2, 0), calcule:
g(t) . h(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, temos três funções vetoriais: f(t), e . O que a gente precisa fazer é calcular o produto escalar entre os vetores e . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e depois soma esses resultados.

Passo 3

Agora, vamos identificar as componentes dos vetores e :
Então, temos:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do produto escalar usando as componentes que identificamos:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo:
  1. permanece assim, já que não há termos para multiplicar além de t e constantes com e^t.
Então, juntando tudo:

Resposta

A expressão simplificada do produto escalar é:

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