Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso exista :
b) f(x, y)=x^4+3 x^2 y^2+2 x y^3(x^2+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite de uma função de duas variáveis à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo principal aqui é limites em funções de várias variáveis e vamos precisar usar a análise de caminhos diferentes para verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos analisar:
f(x, y) = x^4 + 3x^2y^2 + 2xy^3(x^2 + y^2)^2
Queremos calcular lim(x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 3

Para descobrir se esse limite existe, vamos verificar diferentes caminhos pelos quais (x, y) pode se aproximar de (0,0). Se obtivermos o mesmo valor pelo diferentes caminhos, é provável que o limite exista e seja esse valor. Se obtivermos valores diferentes, o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar pelo caminho y = 0. Substituindo na função:
f(x, 0) = x^4 + 0 + 0(x^2 + 0)^2 = x^4x^4 = 1
Então, ao longo de y=0, o limite é 1.

Passo 5

Agora, vamos tentar o caminho y = x. Substituindo na função:
f(x, x) = x^4 + 3x^2x^2 + 2x x^3(x^2 + x^2)^2 = x^4 + 3x^4 + 2x^4(2x^2)^2 = 6x^44x^4 = 64 = 32
Aqui, o limite é 32.

Passo 6

Percebemos que ao longo de y=0, o limite é 1, e ao longo de y=x, o limite é 32. Como estamos obtendo valores diferentes pelos caminhos, isso indica que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe.

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