Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série
é convergente ou divergente. Isso está ligado a tópicos de séries numéricas e cálculo integral. Vamos precisar saber como aplicar o Teste da Integral e calcular integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a função
atende aos critérios para usar o Teste da Integral. Ela precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo
.
- Positiva: Como
é positivo e também é positivo para todo , é positiva. - Contínua: A função
é uma combinação de funções contínuas, então também é contínua. - Decrescente: Para
, a função diminui porque o termo faz com que a função diminua mais rapidamente à medida que aumenta.
Como a função atende a todos esses critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Integral, que nos diz que se a integral
converge, então a série
também converge. Se a integral divergir, a série também diverge.
Então, precisamos calcular a integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até
:
Quando
,
tende a 0, então:
Agora, avaliando em
:
Portanto, a integral é:
Passo 5
Como a integral
resultou em um valor finito (
), segundo o Teste da Integral, a série
converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Integral.