Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sum n e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série é convergente ou divergente. Isso está ligado a tópicos de séries numéricas e cálculo integral. Vamos precisar saber como aplicar o Teste da Integral e calcular integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a função atende aos critérios para usar o Teste da Integral. Ela precisa ser positiva, contínua e decrescente para todo .
  • Positiva: Como é positivo e também é positivo para todo , é positiva.
  • Contínua: A função é uma combinação de funções contínuas, então também é contínua.
  • Decrescente: Para , a função diminui porque o termo faz com que a função diminua mais rapidamente à medida que aumenta.
Como a função atende a todos esses critérios, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Integral, que nos diz que se a integral integral1^infty n e^-n , dn converge, então a série também converge. Se a integral divergir, a série também diverge.
Então, precisamos calcular a integral:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • integral n e^-n , dn = -n e^-n + integral e^-n , dn = -n e^-n - e^-n + C integral1^infty n e^-n , dn = [ -n e^-n - e^-n ]1^infty limn to infty (-n e^-n - e^-n) = 0
  • -1 cdot e^-1 - e^-1 = -2 e^-1 0 - (-2 e^-1) = 2 e^-1
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até :
Quando , tende a 0, então:
Agora, avaliando em :
Portanto, a integral é:

Passo 5

Como a integral resultou em um valor finito ( ), segundo o Teste da Integral, a série converge.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Integral.

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