Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se a série
converge ou diverge usando o Teste da Integral. Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries, integrais e como esse teste funciona para descobrir o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, o Teste da Integral é uma ferramenta usada para verificar a convergência das séries cuja expressão geral é semelhante a uma função contínua, positiva e decrescente. Então, vamos considerar a função
. Precisamos confirmar se essa função é positiva, contínua e decrescente para
grande o suficiente.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
-
Positiva: O denominador
sempre será positivo para porque a expressão quadrática não tem raízes reais (o discriminante é negativo). Então, é sempre positiva. -
Contínua: A função é um quociente de polinômios e o denominador nunca é zero, então é contínua para todo
. -
Decrescente: Vamos ver se
está realmente diminuindo. Derivando , temos:
Para
,
, então
, o que confirma que a função é decrescente para
.
Passo 4
Agora que confirmamos que
é positiva, contínua e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de
de 3 até o infinito:
Passo 5
Para resolver essa integral, completamos o quadrado no denominador:
Assim, a integral fica:
Essa é uma forma padrão cuja integral é a função arco-tangente:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, avaliamos a integral de 3 até o infinito:
Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito, e
. Então:
Passo 7
A integral resultou em um valor finito (
), o que significa que a integral converge.
Resposta
Como a integral
converge, pela Teste da Integral, a série
também é convergente.