Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sum 1n^2-4 n+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre séries, integrais e como esse teste funciona para descobrir o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, o Teste da Integral é uma ferramenta usada para verificar a convergência das séries cuja expressão geral é semelhante a uma função contínua, positiva e decrescente. Então, vamos considerar a função . Precisamos confirmar se essa função é positiva, contínua e decrescente para grande o suficiente.

Passo 3

Vamos analisar a função f'(x) = -2x - 4(x^2 - 4x + 5)^2 :
  1. Positiva: O denominador sempre será positivo para porque a expressão quadrática não tem raízes reais (o discriminante é negativo). Então, é sempre positiva.
  2. Contínua: A função é um quociente de polinômios e o denominador nunca é zero, então é contínua para todo .
  3. Decrescente: Vamos ver se está realmente diminuindo. Derivando , temos:
Para , , então , o que confirma que a função é decrescente para .

Passo 4

Agora que confirmamos que integral3^infty 1x^2 - 4x + 5 , dx é positiva, contínua e decrescente para , podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de de 3 até o infinito:

Passo 5

Para resolver essa integral, completamos o quadrado no denominador:
x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1
Assim, a integral fica:
integral 1(x - 2)^2 + 1 , dx
Essa é uma forma padrão cuja integral é a função arco-tangente:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a arctan(ua) + C
No nosso caso, integral 1(x - 2)^2 + 1 , dx = arctan(x - 2) + C e , então:

Passo 6

Agora, avaliamos a integral de 3 até o infinito:
limb to infty [ arctan(b - 2) - arctan(3 - 2) ] = limb to infty arctan(b - 2) - arctan(1)
Sabemos que pi2 - pi4 = pi4 tende a quando vai para o infinito, e . Então:

Passo 7

A integral resultou em um valor finito ( ), o que significa que a integral converge.

Resposta

Como a integral converge, pela Teste da Integral, a série também é convergente.

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