Calcule lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x e a in R é uma constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite , onde a função é e é uma constante real. Esse limite é a definição da derivada da função no ponto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Vamos começar substituindo a função f(a+h)-f(a)h = e^a+h - e^ah na expressão do limite. Temos:

Passo 3

Sabemos que os expoentes podem ser manipulados da seguinte forma: e^a cdot e^h - e^ah = e^a(e^h - 1)h . Então, substituindo:

Passo 4

Agora, podemos fatorar e^a cdot e^h - 1h fora do limite, já que ele não depende de :

Passo 5

Conhecemos um limite básico em cálculo que diz que e^a cdot 1 = e^a . Portanto:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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