Calcule lim x infty(1+2x)^x+3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Queremos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Esse tipo de limite está relacionado a exponenciais e logaritmos, então vamos precisar usar conhecimentos de limites envolvendo funções exponenciais.

Passo 2

Para resolver limites desse tipo, uma boa estratégia é reescrever a expressão usando o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de L = limx to infty (1 + 2x)^x+3 :
ln L = limx to infty (x + 3) cdot ln(1 + 2x)
Tiramos o logaritmo natural de ambos os lados para facilitar a manipulação:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Sabemos que para ln(1 + 2x) approx 2x próximo de 0, ln L approx limx to infty (x + 3) cdot 2x . No nosso caso, quando tende ao infinito, tende a 0. Então:
Substituindo isso na equação de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão resultante:
(x + 3) cdot 2x = 2 cdot (1 + 3x)
Agora, calculamos o limite quando limx to infty 2 cdot (1 + 3x) = 2 cdot 1 = 2 tende ao infinito:
Portanto, .

Passo 5

Agora, para encontrar L = e^ln L = e^2 , basta aplicar a função exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados