Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se três funções diferentes são deriváveis no ponto . Isso envolve entender o que significa uma função ser derivável em um ponto, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar verificar se as funções são contínuas nesse ponto e se os limites das derivadas laterais são iguais.

Passo 2

Função 1:
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para ser contínua, o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em 0.
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em 0:
Como todos são iguais, a função é contínua em .
Agora, vamos verificar a derivabilidade. A derivada existe se os limites das derivadas laterais forem iguais.
  • Derivada pela esquerda:
    Como para , , a derivada é 0.
  • Derivada pela direita:
    Para , , então a derivada é 3.
Os limites das derivadas laterais são diferentes (0 ≠ 3), então a função não é derivável em .

Passo 3

Função 2:
Primeiro, verificamos a continuidade em :
  • Limite pela esquerda ( ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em 0:
Tudo coincide, então a função é contínua em .
Agora, vamos calcular as derivadas laterais:
  • Derivada pela esquerda:
    Para , , então a derivada é 0.
  • Derivada pela direita:
    Para , , então a derivada é . Avaliando em :
Ambas as derivadas laterais são iguais (0), então a função é derivável em , com derivada igual a 0.

Passo 4

Função 3:
Primeiro, verificamos a continuidade em :
  • Limite quando :
    Sabemos que está sempre entre -1 e 1, então:
    Como , pelo Teorema do Confronto, temos:
  • Valor da função em 0:
Então, a função é contínua em .
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Calculamos a derivada geral da função para :
Queremos ver se:
existe.
Analisando os termos:
  • : Como está entre -1 e 1, e , esse termo tende a 0.
  • : Similarmente, está entre -1 e 1, então esse termo também tende a 0.
Portanto:
Além disso, a derivada pela esquerda e pela direita no ponto 0 também serão 0.
Então, a função é derivável em , com derivada igual a 0.

Resposta

Das três funções analisadas, as funções 2 e 3 são deriváveis no ponto , enquanto a função 1 não é derivável nesse ponto.

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;