Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se três funções diferentes são deriváveis no ponto
. Isso envolve entender o que significa uma função ser derivável em um ponto, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar verificar se as funções são contínuas nesse ponto e se os limites das derivadas laterais são iguais.
Passo 2
Função 1:
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para ser contínua, o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em 0.
-
Limite pela esquerda (
): -
Limite pela direita (
): -
Valor da função em 0:
Como todos são iguais, a função é contínua em
.
Agora, vamos verificar a derivabilidade. A derivada existe se os limites das derivadas laterais forem iguais.
-
Derivada pela esquerda:
Como para, , a derivada é 0. -
Derivada pela direita:
Para, , então a derivada é 3.
Os limites das derivadas laterais são diferentes (0 ≠ 3), então a função não é derivável em
.
Passo 3
Função 2:
Primeiro, verificamos a continuidade em
:
-
Limite pela esquerda (
): -
Limite pela direita (
): -
Valor da função em 0:
Tudo coincide, então a função é contínua em
.
Agora, vamos calcular as derivadas laterais:
-
Derivada pela esquerda:
Para, , então a derivada é 0. -
Derivada pela direita:
Para, , então a derivada é . Avaliando em :
Ambas as derivadas laterais são iguais (0), então a função é derivável em
, com derivada igual a 0.
Passo 4
Função 3:
Primeiro, verificamos a continuidade em
:
-
Limite quando
:
Sabemos queestá sempre entre -1 e 1, então: Como, pelo Teorema do Confronto, temos: -
Valor da função em 0:
Então, a função é contínua em
.
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Calculamos a derivada geral da função para
:
Queremos ver se:
existe.
Analisando os termos:
-
: Como está entre -1 e 1, e , esse termo tende a 0. -
: Similarmente, está entre -1 e 1, então esse termo também tende a 0.
Portanto:
Além disso, a derivada pela esquerda e pela direita no ponto 0 também serão 0.
Então, a função é derivável em
, com derivada igual a 0.
Resposta
Das três funções analisadas, as funções 2 e 3 são deriváveis no ponto
, enquanto a função 1 não é derivável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
sen
no ponto
.
Calcule
, onde
e
é uma constante.
Encontre a equação da reta normal ao gráfico de
que é paralela à reta
.
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;