Decida se as funções abaixo são deriváveis no ponto x0=0.
f(x)=l 0, se x<0 3 x, se x >= 0 f(x)=l 0, se x <= 0 x^2, se x>0 f(x)=l x^2 sen (x^-1), se x neq 0 0, se x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se três funções diferentes são deriváveis no ponto . Isso envolve entender o que significa uma função ser derivável em um ponto, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar verificar se as funções são contínuas nesse ponto e se os limites das derivadas laterais são iguais.

Passo 2

Função 1:
f(x) = 0, & se x < 0 3x, & se x >= 0
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em limx to 0^- f(x) = 0 . Para ser contínua, o limite quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ 3x = 0 se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em 0.
  • Limite pela esquerda ( f(0) = 3 times 0 = 0 ):
  • Limite pela direita ( ):
  • Valor da função em 0:
Como todos são iguais, a função é contínua em .
Agora, vamos verificar a derivabilidade. A derivada existe se os limites das derivadas laterais forem iguais.
  • Derivada pela esquerda:
    Como para , , a derivada é 0.
  • Derivada pela direita:
    Para , , então a derivada é 3.
Os limites das derivadas laterais são diferentes (0 ≠ 3), então a função não é derivável em .

Passo 3

Função 2:
f(x) = 0, & se x <= 0 x^2, & se x > 0
Primeiro, verificamos a continuidade em limx to 0^- f(x) = 0 :
  • Limite pela esquerda ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ x^2 = 0 ):
    f(0) = 0
  • Limite pela direita ( limx to 0^+ 2x = 0 ):
  • Valor da função em 0:
Tudo coincide, então a função é contínua em .
Agora, vamos calcular as derivadas laterais:
  • Derivada pela esquerda:
    Para , , então a derivada é 0.
  • Derivada pela direita:
    Para , , então a derivada é . Avaliando em :
Ambas as derivadas laterais são iguais (0), então a função é derivável em , com derivada igual a 0.

Passo 4

Função 3:
f(x) = x^2 cdot sin(1x), & se x neq 0 0, & se x = 0
Primeiro, verificamos a continuidade em -x^2 <= x^2 cdot sin(1x) <= x^2 :
  • Limite quando limx to 0 x^2 cdot sin(1x) = 0 :
    Sabemos que f(0) = 0 está sempre entre -1 e 1, então:
    f'(x) = 2x cdot sin(1x) - x cdot cos(1x)
    Como limx to 0 f'(x) , pelo Teorema do Confronto, temos:
    limx to 0 f'(x) = 0
  • Valor da função em 0:
Então, a função é contínua em .
Agora, vamos verificar a derivabilidade. Calculamos a derivada geral da função para :
Queremos ver se:
existe.
Analisando os termos:
  • : Como está entre -1 e 1, e , esse termo tende a 0.
  • : Similarmente, está entre -1 e 1, então esse termo também tende a 0.
Portanto:
Além disso, a derivada pela esquerda e pela direita no ponto 0 também serão 0.
Então, a função é derivável em , com derivada igual a 0.

Resposta

Das três funções analisadas, as funções 2 e 3 são deriváveis no ponto , enquanto a função 1 não é derivável nesse ponto.

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